01电磁学——麦克斯韦方程组

Lingfeng2024-06-10

常见结论

场源	电场(E)	磁场(B)
无限长直导线	$E = \frac{1}{2 \pi\varepsilon_{0} } \frac{\lambda}{r}$	$B = \frac{\mu_0 }{2 \pi } \frac{I}{r}$
无限大平面	$E = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$	$B=\frac{\mu_{0}j}{2}$
圆环中心	$E=0$	$B = N\frac{\mu_0 }{2} \frac{I}{R}$
螺线管	不产生电场(静态情况下)	$B = \mu_{0}nI$

麦克斯韦方程组 积分形式

\begin{align*} \subset\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint_{S} \vec{E}\cdot d\vec{S} & = \frac{1}{\varepsilon_{0}} \sum_{i} q_{i}\\ \oint_{L} \vec{E} \cdot d\vec{l} & = - \iint_{S}\frac{ \partial \vec{B} }{ \partial t } \cdot d\vec{S} \\ \subset\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint_{S} \vec{B} \cdot d\vec{S} & =0 \\ \oint_{L} \vec{B}\cdot d\vec{l} & = \mu_{0}\sum_{i } I_{i}+ \mu_{0}\varepsilon_{0}\iint\frac{ \partial \vec{E} }{ \partial t } \cdot d\vec{S} \end{align*}

微分形式

\begin{align*} \nabla \cdot \vec{E} & = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}} \\ \nabla\times \vec{E} & = - \frac{ \partial \vec{B} }{ \partial t } \\ \nabla \cdot\vec{B} & = 0 \\ \nabla \times \vec{B} & = \mu_{0}\vec{j}+ \mu_{0}\varepsilon_{0} \frac{ \partial \vec{E} }{ \partial t } \end{align*}

位移电流推导
对于充放电电容器

\subset\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint_{S}\vec{E} \cdot d\vec{S}= \iint_{S} \vec{E} \cdot d\vec{S}= \frac{q}{\varepsilon_{0}}

因此

\frac{d}{dt}\left( \iint_{S} \vec{E} \cdot d\vec{S}\right)= \iint_{S} \frac{ \partial \vec{E} }{ \partial t } \cdot d\vec{S} = \frac{I}{\varepsilon_{0}}

故

I=\varepsilon_{0}\iint_{S}\frac{ \partial \vec{E} }{ \partial t } \cdot d\vec{S}