Definition (独立增量过程)
如果对于任意，，随机变量，，，是相互独立的，则称是独立增量过程。
如果对于任意，，有，则称是平稳增量过程。
Theorem (平稳增量的充分必要条件)
设是一个独立增量过程，则具有平稳增量的充分必要条件为：其特征函数具有可乘性，即
Definition (泊松过程Poisson Process)
如果计数过程满足以下条件：
- 有独立增量性
- 在长度为的时间内发生的次数服从泊松分布，参数为，即对任意的，有
则称为强度参数为的泊松过程。
其矩母函数为对其求导有
因此
Definition (泊松过程等价定义)
计数过程称为泊松过程，参数为，如果
- 过程有平稳增量性和独立增量性
证明
的证明是显然的。注意到同时因此，下面只需要考虑反方向证明，这里给出2种方法。
法一
直接考虑概率递推关系。令，条件转化为此时因此从而下面只需求出初值。我们采用类似的办法，注意到因此令，有从而根据可得到此时通过递推关系和数学归纳法即可求出。
法二
考虑 Laplace 变换，只需要求出其变换后表达式与泊松分布相同即可。设，欲证只需证注意到由平稳增量性，有此时只需证明即证而故证毕。
Example (泊松过程的随机稀疏)
设事件形成强度为的泊松过程，如果每次事件发生时以概率记录下来，设为到时刻被记录下来的事件总数，则时一个强度为的泊松过程，即
证明
对于复合随机变量，使用全概率公式。注意到故证毕。
Example (泊松过程的叠加)
设是速率为，的独立泊松过程，则是速率为的泊松过程。
证明
可以考虑矩母函数，注意到故证毕。
Theorem (的分布)
第次与第次事件发生的时间间隔，，服从参数为的指数分布，且相互独立，即
证明
首先注意到的分布，注意到此时同理可得任意两次事件均独立且满足指数分布。
证明
注意到，而，因此。
Corollary (泊松分布的再一种定义)
计数过程是参数为的泊松过程，如果每次事件发生的时间间隔相互独立，且服从同一参数的指数分布。
证明
设，取充分小使得，此时因此
Corollary (同分布性质)
在已知的条件下，与上的均匀分布的次序统计量同分布，即
Example (火车等待)
乘客按照强度为的泊松过程来到火车站，火车在时刻启程，计算在内乘客等待事件的总和的期望，即求其中是第个乘客来到的时刻。
解
考虑而注意到因此由全期望公式
Example (泊松分布的条件稀疏)
若例2.1改为事件在时刻被记录的概率为，则此时再求的分布。
解
前面的过程是类似的关键在于其余完全一致。