01一维非均匀随机数的产生

Lingfeng2025-02-18

01一维非均匀随机数的产生

1. 常用连续非均匀随机数的产生

1.1 逆变换抽样法

Theorem (逆变换同分布)

设连续型随机变量的分布函数连续且严格单增，其反函数存在且记为，则

且

Corollary (推论)

若，，存在，则有

1.2 舍选抽样法

Theorem (舍选抽样分布)

设，分别为概率密度函数，为给的函数，此时若，，且，独立。若，令。此时概率密度函数为

其中为随机变量分布函数。

证明
注意到，因此考虑

求导有

Corollary (舍选抽样法)

设概率密度函数且，令。此时若，。若，令。此时概率密度函数为。

证明
由，只需证

又由，故证毕。

Corollary (简单舍选法)

设在上取值，概率密度函数且。此时若，。若，令。此时概率密度函数为。

证明
取

此时

故此时只需取，即。故证毕。

Corollary (分离舍选抽样法)

若概率密度函数满足

其中，，为概率密度函数。则取，。若，令。此时。

1.3 变换抽样法

Lemma (单调概率密度变换公式)

设随机变量具有概率密度函数，若单调，其反函数且其导函数存在，则概率密度函数为

其中。

证明
以单减为例，有，此时

因此求导得

Theorem (概率密度变换公式)

设随机变量具有概率密度函数，若的导函数存在，则概率密度函数为

其中表示方程的所有解构成的集合。

证明
将定义域分解为若干个区间，将使得在每个区间上严格单调，此时

由于每个区间均单调，由单调概率密度函数公式有

其中。令，因此上式即

Theorem (二元概率密度变换公式)

设随机向量的联合概率密度函数，令且存在唯一反变换，其一阶偏导数存在。则随机变量的概率密度函数为

证明
设，有，雅可比行列式为

因此联合密度函数为

从而边际密度函数为

Theorem (次序统计量分布)

设独立同分布，概率密度函数和分布函数分别为和，此时

次序统计量密度函数为
当时，次序统计量和（）的联合密度函数为
当，前个次序统计量联合密度函数为

1.4 复合抽样法

Theorem (复合抽样法)

设随机变量的分布函数和概率密度函数分别为和，并且可以写成

其中 ,，和分别是随机变量的分布函数和概率密度函数。
利用复合抽样法产生随机数的步骤如下：

产生，若，令
产生分布函数为或概率密度函数为的随机数,记为。
则满足上式的分布函数和概率密度函数。

1.5 近似抽样法

Theorem (正态分布近似抽样)

设为独立同分布的随机变量序列，其数学期望和方差存在。则其和的标准化形式

满足中心极限定理。随机变量的分布函数记为，有

即

Definition (Bulter抽样法)

产生，令
产生概率密度函数为的随机数。独立产生，当时，令
当时，令，则由此得到为近似服从分布的的随机数。

2. 离散分布随机数的抽样法

Theorem (逆变换法)

设为离散型随机变量所有可能的取值，是取概率，即，的分布函数为。则

产生
如果，则令；如果，则令
则是分布的随机数。

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