Lingfeng's Starry Night
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06布朗运动

Lingfeng2024-11-30

06布朗运动

1. 基本概念

Definition (布朗运动)

随机过程满足

  2. 有独立的平稳增量
  3. 对每个，
    则称为布朗运动，也称Wiener过程，记为或。

Definition (布朗运动的等价定义)

  2. 独立于过程的过去状态
  3. 是的连续函数

Example (布朗运动联合分布)

设为标准布朗运动，求。

注意到

Theorem (Brown运动矩母函数)

2. Guass过程

Definition (Guass过程)

所有有限维分布为多元正态分布的随机过程称为Gauss过程。

Theorem (布朗运动与Gauss过程)

布朗运动是均值函数为0，协方差函数为的Gauss过程。

证明
对于，考虑

3. 布朗运动的鞅性质

Theorem (布朗运动的鞅性质)

  1. 为鞅
  2. 为鞅
  3. 对任意实数，为鞅。

证明
只证明二，三。考虑证明

而注意到
故证毕。

类似的，考虑证明

只需证明
设，此时
恰为矩母函数，故证毕。

4. Brown运动的最大值变量及反正弦律

Theorem (首次击中时刻的概率分布)

设为布朗运动首次击中的时刻，即

当，时有

证明
由全概率公式

从而
其密度函数为

Theorem (最大值最小值的分布)

设，，则

Theorem (击中零点的概率)

设为始于的布朗运动，则在中至少有一个零点的概率为

证明
若，此时只需求

Corollary (Brown运动同分布性质)

，，同分布。

Theorem (布朗运动反正弦律)

在区间中至少有一个零点概率为

5. Brown运动的几种变化

Definition (Brown桥)

Definition (有吸收值的Brown运动)

Definition (在原点反射的Brown运动)

Definition (几何Brown运动)

6. 布朗运动的反射原理 (Reflection Principle)

Definition (反射原理)

对于布朗运动{B(t), t≥0}和任意固定水平x，如果τ是首次击中x的时刻，那么新过程：


仍然是一个布朗运动。

Theorem (主要结论)

  1. ，其中
  2. ，其中是首次击中时间
  3. 对于：

证明思路：

  1. 考虑所有经过x点的路径
  2. 对于每条这样的路径，在首次击中x后将路径反射
  3. 反射后的路径与原路径概率相等
  4. 这建立了经过x点的路径与反射路径之间的一一对应

Example (应用)

反射原理可以用来计算：

  1. 布朗运动的最大值分布
  2. 首次击中时间的分布
  3. 条件概率

6.1 重要推论

  1. 首次击中时间分布：

  2. 条件分布：
    对于时的，其分布是关于x对称的

  3. 联合分布：

Last Updated 1/26/2025, 7:48:46 AM
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