03违背基本假设的情况

Lingfeng2024-11-05

03违背基本假设的情况

1. 回归模型的诊断

Theorem (残差的性质)

Definition (学生化残差)

2. 异方差性

Definition (异方差性)

若随机误差存在异方差性，即

此时有

Definition (Spearman检验)

取的绝对值，将和按递增或递减的次序排列后给出各自的次序等级，计算

其中为次序等级之差。此时当时检验统计量

Definition (G-Q检验)

将样本观测值按大小进行排序，剔除中间个观测，对剩余等分为2个样本分布进行回归分析，此时

Definition (加权最小二乘法)

考虑

其中。此时

为了消除异方差，我们一般取。若已知，则取

3. 自相关

3.1 自相关检验

Definition (自相关系数)

Definition (一阶自相关)

Theorem (一阶自相关误差方差)

证明
注意到

我们认为

因此有

此时

由递推可证一般情况。

Theorem (一阶自相关方差估计)

在一阶自相关方差下有

此时

考虑时

为了计算简便，我们不妨假设已做标准化处理，此时

此时

因此

Definition (DW检验)

证明

近似认为，因此

	DW	自相关性
-1	4	完全负相关
(-1,0)	(2,4)	负自相关
0	2	无自相关
(0,1)	(0,2)	正相关
1	0	完全自相关

3.2 自相关改进方法

Definition (迭代法)

对于，其中满足一阶自相关，此时令

其中。此时构建满足基本假定。

Definition (差分法)

构建

4. 异常值和强影响点

4.1 关于因变量Y的异常值

Definition (标准化残差与学生化残差)

Definition (删除残差)

Theorem (删除残差与学生化残差的关系)

证明

法一
注意到

两边乘以有

而

因此

此时

因此

法二
设

此时设

有

因此

而

因此由

得到

Definition (异常值点)

删除学生化残差的绝对值大于 3的点称为异常值点。

4.2 关于自变量X的异常值

Definition (杠杆点)

Definition (Cook统计量)

Theorem (Cook统计量与学生化残差关系)

证明
由前面的证明得到

因此

Theorem (强影响点)

Cook统计量较大的点称为强影响点。

4.3 BOX-COX变换

Definition (BOX-COX变换)

此时似然函数为

其中

注意到为常数，因此

此时令

对应似然函数最大值为

从而

其中，即

5. 广义最小二乘估计

Definition (广义最小二乘估计)

令，，，此时建立线性回归模型

有

此时最小二乘估计为

Theorem (广义最小二乘性质)

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