01预备知识

1. 概率空间

• 随机试验每一个可能的结果被称为样本点。
• 全体样本点所构成的集合称为样本空间。
• 样本空间中的子集构建事件域，且为域。
• 概率为的实值函数，为概率测度。
• 称为概率空间。中的元素称为事件，称为事件的概率。

2. 随机变量与分布函数

3. 矩母函数、特征函数与数字特征

3.1 黎曼─斯蒂尔杰斯（Riemann-Stieltjes, R-S）积分

性质

• 当时，Riemann-Stieltje 积分即为 Riemann 积分。
• 当为阶梯函数时，Riemann-Stieltjes 积分为求和级数。
• 当为离散随机变量的概率分布函数时，有
• 根据 Riemann-Stieltjes 积分的定义，离散型和连续型随机变量的数学期望可以用一个统一的积分形式表达

充分条件 若函数为连续函数，为单调函数，则 Riemann-Stieltjes 积分存在。

3.2 矩母函数

类似变换如下：

• 矩母函数
• 概率母函数
• Laplace变换
• 特征函数

性质

2. 若，则

---

解
先计算，此时

注意到，故

特征函数同理。注意到

故

3.3 期望

---

证明 考虑 Fubini 定理，有

而后面的等式注意到

因此

3.4 条件期望

3.5 条件方差

证明 注意到左边

右边

因此

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解 使用条件方差公式，注意到

故

同理

因此

故

3.6 特殊形式的全概率公式

设为示性随机变量，则有

对于条件期望也有