03-1更新过程

Lingfeng2024-10-06

03-1更新过程

1. 更新过程的定义及性质

1.1 定义

Definition (更新过程)

设是一串独立同分布的非负随机变量，分布函数为，令，，。我们把

定义的计数过程称为更新过程。

注意到有这样的性质

1.2 性质

Theorem (性质一)

证明
由强大数定理

因此在有限时间内最多只能发生有限次更新。

Theorem (性质二)

证明
注意到

因此

Corollary (泊松分布与伽马分布关系恒等式)

证明
该等式即泊松过程中有：

故显然成立。

Theorem (性质三)

证明
由分布函数期望公式知显然成立。

2. 更新方程

2.1 更新方程和更新定理

Definition (更新方程)

Theorem (更新函数性质)

证明
由条件期望公式

Theorem (更新方程的解)

若更新方程中为有界函数，则方程存在唯一的在有限区间内有界的解

其中是分布函数的更新函数

Example (Wald等式)

设独立同分布，，，则

证明

法一
注意到

此时令，则

注意到这是一个更新方程，由定理知解为

法二
注意到

因此与独立。此时

2.2 关键更新定理

Theorem (关键更新定理)

记，设函数，满足

非负不增
是更新方程
的解，同时若为连续分布，则

Example (剩余寿命与年龄的极限分布)

设表示时刻的剩余寿命，为时刻的年龄。求和的极限分布。

解
令，此时

因此

这是一个更新方程，由关键更新定理

注意到

因此

Theorem (剩余寿命分布)

设，则其分布函数满足

其中。

Corollary (和的分布)

证明
注意到

同理

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