Theorem (条件期望的性质)
若，则若，则若，期望存在，且，则若与相互独立，则若，则
Definition (鞅)
是关于，如果
Example (零均值独立随机变量和)
设和是独立随机变量序列，且，。若且，则是关于的鞅。
证明 证明是显然的。因为而
Example (赌徒赌注模型)
设独立同分布，分布函数为每次所下的赌注与前面的结果有关，即设为第次下的赌注，则。此时令则是关于的鞅。
Definition (上鞅)
是关于的一个上鞅，如果同时是的函数。
Definition (下鞅)
是关于的一个下鞅，如果同时是的函数。
Theorem (鞅的等期望性)
设是关于的鞅，则同时
证明 使用归纳法，假设对成立，此时
Definition (停时)
设是一个随机变量序列，称是关于的停时，若在中取值，且
Lemma (停时马尔可夫性质)
设是关于的鞅，是关于的停时，则对任意的，有
证明
Theorem (停时有界期望)
若是关于的停时，则
证明 使用引理再由鞅的性质有故证毕。
Theorem (停时定理)
设是关于的鞅，是关于的停时，且满足则有
Example (简单随机游动)
设是上的简单随机游动（）。设，令，求，。
解 设为每次抛硬币的结果，则，显然是关于的鞅。停时定理的三个条件显然也成立，因此
首先其次考虑因此
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