05鞅

Lingfeng2024-11-30

05鞅

1. 基本概念

Theorem (条件期望的性质)

若 $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ ，则

E(E(X\mid \mathcal{G} ))=E(X)

若

X \in \mathcal{G}

，则

E(X\mid \mathcal{G} )=X,a.s.

若

X

，

XY

期望存在，且

Y \in \mathcal{G}

，则

E(YX\mid \mathcal{G} )=YE(X\mid \mathcal{G} )

若

X

与

\mathcal{G}

相互独立，则

E(X\mid \mathcal{G} )=E(X)

若

\mathcal{G}_{n-1}\subset \mathcal{G}_{n}

，则

E(E(X\mid \mathcal{G} _{n})\mid \mathcal{G} _{n-1})=E(X\mid \mathcal{G_{n-1}} )

Definition (鞅)

$\{ X_{n} \}$ 是关于 $\{ Y_{n} \}$ ，如果

E(\lvert X_{n} \rvert )<\infty,\quad E(X_{n+1}\mid Y_{0},\dots,Y_{n})=X_{n}

Example (零均值独立随机变量和)

设 $X_{0}=0$ 和 $X_{1},X_{2},\dots$ 是独立随机变量序列，且 $E(\lvert X_{n} \rvert)<+\infty$ ， $E(X_{n})=0$ 。若 $S_{0}=0$ 且 $S_{n}=X_{1}+\dots+X_{n}$ ，则 $\{ S_{n} \}$ 是关于 $\{ X_{n} \}$ 的鞅。

证明
证明是显然的。因为

S_{n+1}-S_{n}=X_{n+1}

而

E(X_{n+1}\mid X_{0},\dots,X_{n})=E(X_{n+1})=0

Example (赌徒赌注模型)

设 $X_{1},X_{2},\dots$ 独立同分布，分布函数为

P\{ X_{i}=1 \}=P\{ X_{i}=-1 \}=\frac{1}{2}

每次所下的赌注与前面的结果有关，即设

B_{n}

为第

n

次下的赌注，则

B_{n}=f(X_{1},\dots,X_{n-1})

。此时令

W_{n}=\sum_{i = 1}^{n} B_{i}X_{i}

则

\{ W_{n} \}

是关于

\{ X_{n} \}

的鞅。

Definition (上鞅)

$\{ X_{n} \}$ 是关于 $\{ Y_{n} \}$ 的一个上鞅，如果

E(X_{n}^{-})>-\infty,\quad E(X_{n+1}\mid Y_{0},\dots,Y_{n})\leq X_{n}

同时

X_{n}

是

Y_{0},\dots,Y_{n}

的函数。

Definition (下鞅)

$\{ X_{n} \}$ 是关于 $\{ Y_{n} \}$ 的一个下鞅，如果

E(X_{n}^{+})>+\infty,\quad E(X_{n+1}\mid Y_{0},\dots,Y_{n})\geq X_{n}

同时

X_{n}

是

Y_{0},\dots,Y_{n}

的函数。

Theorem (鞅的等期望性)

设 $\{ X_{n} \}$ 是关于 $\{ Y_{n} \}$ 的鞅，则

E(X_{n+k}\mid Y_{0},\dots,Y_{n})=X_{n}

同时

E(X_{n})=E(X_{k})=E(X_{0})

证明
使用归纳法，假设对 $k\geq 0$ 成立，此时

\begin{align*} E(X_{n+k+1}\mid Y_{0},\dots,Y_{n}) & =E(E(X_{n+k+1}\mid Y_{0},\dots,Y_{n},\dots,Y_{n+k} )\mid Y_{0},\dots,Y_{n}) \\ & = E(X_{n+k}\mid Y_{0},\dots,Y_{n}) \\ & =X_{n} \end{align*}

2. 停时定理

Definition (停时)

设 $\{ X_{n} \}$ 是一个随机变量序列，称 $T$ 是关于 $\{ X_{n} \}$ 的停时，若 $T$ 在 $\{ 0,1,\dots,\infty \}$ 中取值，且 $\{ T=n \}\in\sigma(X_{0},\dots,X_{n})$

Lemma (停时马尔可夫性质)

设 $\{ X_{n} \}$ 是关于 $\{ Y_{n} \}$ 的鞅， $T$ 是关于 $\{ Y_{n} \}$ 的停时，则对任意的 $n \geq k$ ，有

E(X_{n}I_{\{ T=k \}})=E(X_{k}I_{\{ T=k \}})

证明

\begin{align*} E(X_{n}I_{\{ T=k \}}) & =E(E(X_{n}I_{\{ T=k \}}\mid Y_{0},\dots,Y_{k})) \\ & = E(I_{\{ T=k \}}E(X_{n}\mid Y_{0},\dots,Y_{k})) \\ & = E(I_{\{ T=k \}}X_{k}) \end{align*}

Theorem (停时有界期望)

若 $T$ 是关于 $\{ X_{n} \}$ 的停时，则

E(M_{T\land n})=E(M_{0})

证明
使用引理

\begin{align*} E(M_{T\land n}) & = E\left( \sum_{k = 0}^{n-1} M_{k}I_{\{ T=k \}} \right)+E(M_{n}I_{\{ T\geq n \}}) \\ & = E\left( \sum_{k = 0}^{n-1} M_{n}I_{\{ T=k \}} \right)+E(M_{n}I_{\{ T\geq n \}}) \\ & =E(M_{n}) \end{align*}

再由鞅的性质有

E(M_{T\land n})=E(M_{0})

故证毕。

Theorem (停时定理)

设 $\{ M_{n} \}$ 是关于 $\{ X_{n} \}$ 的鞅， $T$ 是关于 $\{ X_{n} \}$ 的停时，且满足

\begin{align*} P\{ T<\infty \} & =1 \\ E(\lvert M_{T} \rvert ) & <\infty \\ \lim_{ n \to \infty } E(\lvert M_{n}I_{\{ T>n \}} \rvert ) & =0 \end{align*}

则有

E(M_{T})=E(M_{0})

Example (简单随机游动)

设 $\{ X_{n} \}$ 是 $\{ 0,1,\dots,N \}$ 上的简单随机游动（ $p=\frac{1}{2}$ ）。设 $X_{0}=a$ ，令 $T=\min \{ j:X_{j}=0\text{或}N \}$ ，求 $E(X_{T})$ ， $P\{ X_{T}=N \}$ 。

解
设 $Y_{1},\dots,Y_{n}$ 为每次抛硬币的结果，则 $X_{n}=\sum_{i = 1}^{n}Y_{i}$ ，显然 $X_{n}$ 是关于 $\{ Y_{n} \}$ 的鞅。停时定理的三个条件显然也成立，因此

首先

E(X_{T})=E(X_{0})=a

其次考虑

\begin{align*} E(X_{T}) & =E(X_{T}\mid X_{T}=0)P\{ X_{T}=0 \}+E(X_{T}\mid X_{T}=N)P\{ X_{T}=N \} \\ & = 0\cdot P\{ X_{T}=0 \}+N\cdot P\{ X_{T}=N \} \end{align*}

因此

P\{ X_{T}=N \}=\frac{a}{N}

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1. 基本概念

2. 停时定理

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