03勒贝格积分——积分的极限定理

Lingfeng2024-05-17

03勒贝格积分——积分的极限定理

引理若 $f(x)$ 为 $E$ 上的可测函数, $g(x)$ 在 $E$ 上勒贝格可积, 且 $\lvert f(x) \rvert\leq g(x),a.e.E$ , 则 $f(x)$ 在 $E$ 上也勒贝格可积.

证明
由于 $f(x)$ 在 $E$ 上可测, 故 $\lvert f(x) \rvert$ 在 $E$ 上也可测. 故 $\lvert f(x) \rvert$ 勒贝格积分存在. 此时

\int_{E} f^{+}(x) \, dx \leq \int _{E}\lvert f(x) \rvert \, dx \leq\int _{E} g(x)\, dx <+\infty

同理也有

\int _{E}f^{-}(x) \, dx<+\infty

, 故

f(x)

可积.

勒贝格极限控制定理 设 $\{ f_{n}(x) \}$ 时可测集 $E$ 上的可测函数列, 若 $\lvert f(x) \rvert \leq F(x)$ , $a.e.E$ , 且 $F(x)$ 在 $E$ 上可积, 同时 $f_{n} \stackrel{m}{\longrightarrow}f$ , 则 $f(x)$ 在 $E$ 上也可积, 且

\lim_{ n \to \infty } \int _{E}f_{n}(x) \, dx =\int _{E}f(x) \, dx

证明
由于 $f_{n}\stackrel{m}{\longrightarrow}f$ , 由Riesz定理, 存在子列 $\{ f_{n_{k}} \}$ , 有 $f_{n_{k}}\stackrel{a.e.}{\longrightarrow}f$ , 且 $\lvert f_{n_{k}}(x) \rvert\leq F(x),a.e.E$ , 因此

\lvert f(x) \rvert \leq F(x),a.e.E

由于

F(x)

可积, 由引理知

f(x)

在

E

上可积, 同理

f_{n}(x)

在

E

上也可积. 下面考虑证明

\lim_{ n \to \infty } \int _{E}f_{n}(x) \, dx =\int _{E}f(x) \, dx

先考虑

m(E)<+\infty

情形. 注意到

\begin{align*} \left\lvert \int _{E}f_{n}(x) \, dx -\int _{E}f(x) \, dx \right\rvert &\leq \int _{E}\lvert f_{n}(x)-f(x) \rvert \, dx \\ &= \int _{E(f_{n}-f\geq\sigma)}\lvert f_{n}(x)-f(x) \rvert\, dx + \int _{E(f_{n}-f<\sigma)}\lvert f_{n}(x)-f(x) \rvert\, dx \end{align*}

由

f_{n}\stackrel{m}{\longrightarrow}f

, 对于任意

\sigma>0

\delta>0

, 存在

N>0

, 当

n>N

, 有

m(E(\lvert f_{n}-f \rvert \geq\sigma))<\delta

又由

F(x)

可积, 由积分绝对连续性, 对于任意

\varepsilon>0

, 存在

\delta>0

, 对任意可测集

A

, 当

m(A)<\delta

, 则

\int _{A}F(x) \, dx< \frac{\varepsilon}{4}

因此

\int _{E(\lvert f_{n}-f \rvert <\sigma)}F(x) \, dx< \frac{\varepsilon}{4}

此时

\begin{align*} \left\lvert \int _{E}f_{n}(x) \, dx -\int _{E}f(x) \, dx \right\rvert &\leq 2\int _{E(\lvert f_{n}-f \rvert \geq\sigma)}F(x) \, dx+\sigma m(E(\lvert f_{n}-f \rvert <\sigma)) \\ &< 2\cdot \frac{\varepsilon}{4}+ \sigma m(E) \end{align*}

此时只需取

\sigma= \frac{\varepsilon}{2m(E)}

, 即有

\left\lvert \int _{E}f_{n}(x) \, dx -\int _{E}f(x) \, dx \right\rvert<\varepsilon

故证毕.

再考虑 $m(E)=+\infty$ 情形. 由 $F(x)$ 可积, 对任意的 $\varepsilon>0$ , 存在 $E_{k}\subset E$ , $m(E_{k})<+\infty$ , 使得

\int _{E}F(x) \, dx -\int _{E_{k}}[F(x)]_{k} \, dx< \frac{\varepsilon}{4}

故

\begin{align*} \int _{E-E_{k}}F(x) \, dx &= \int _{E}F(x) \, dx -\int _{E_{k}}F(x) \, dx \\ &\leq \int _{E}F(x) \, dx - \int _{E_{k}} [F(x)]_{k}\, dx \\ &< \frac{\varepsilon}{4} \end{align*}

此时注意到

m(E_{k})<+\infty

, 且在

E_{k}

上

f_{n}\stackrel{m}{\longrightarrow}f

, 由先前结论, 存在

N>0

, 当

n>N

, 有

\int _{E_{k}}\lvert f_{n}-f \rvert \, dx < \frac{\varepsilon}{2}

因此

\begin{align*} \left\lvert \int _{E}f_{n}(x) \, dx-\int _{E}f(x) \, dx \right\rvert & \leq \int _{E}\lvert f_{n}(x)-f(x) \rvert \, dx \\ & = \int _{E-E_{k}}\lvert f_{n}(x)-f(x) \rvert \, dx +\int _{E_{k}}\lvert f_{n}(x)-f(x) \rvert \, dx \\ & \leq 2\int _{E-E_{k}}\lvert F(x) \rvert \, dx +\int _{E_{k}}\lvert f_{n}(x)-f(x) \rvert \, dx \\ & < 2 \cdot \frac{\varepsilon}{4}+ \varepsilon = \varepsilon \end{align*}

故证毕.

推论1 定理条件改成 $f_{n}\stackrel{a.e.}{\longrightarrow}f$ , 结论仍成立.

推论2(有界控制定理) 若 $m(E)<+\infty$ , 条件可改为

\lvert f_{n}(x) \rvert\leq K,a.e.E

若

f_{n}\stackrel{m}{\longrightarrow}f

或

f_{n}\stackrel{a.e.}{\longrightarrow}f

, 结论仍成立.

Levi单调控制定理 设 $f$ , $f_{n}$ 在可测集 $E$ 上非负可测, 且 $\{ f_{n} \}$ 单增, 若

\lim_{ n \to \infty } f_{n}(x)=f(x)

则

\lim_{ n \to \infty } \int _{E}f_{n}(x) \, dx=\int _{E}f(x) \, dx

证明
由

\{ f_{n} \}

单增, 且

\lim_{ n \to \infty }f_{n}(x)=f(x)

, 故

f_{n}(x)\leq f(x)

, 从而

\int _{E}f_{n}(x) \, dx \leq \int _{E}f(x) \, dx

进而

\lim_{ n \to \infty } \int _{E}f_{n}(x) \, dx\leq \int _{E}f(x) \, dx

下面只需证明相反的不等式. 由

f(x)

可积, 故对于任意

\varepsilon>0

, 存在

N>0

, 有

\int _{E}f(x) \, dx < \int _{E_{N}}[f(x)]_{N} \, dx + \varepsilon

此时考虑函数列

\{ [f_{n}(x)]_{N} \}

, 显然有

\lim_{ n \to \infty } [f_{n}(x)]_{N}=[f(x)]_{N}

注意到

[f_{n}(x)]_{N}\leq N

m(E_{N})<+\infty

, 故由控制收敛定理, 有

\begin{align*} \int _{E}f(x) \, dx & < \int _{E_{N}}[f(x)]_{N} \, dx + \varepsilon \\ & =\int _{E_{N}}\lim_{ n \to \infty } [f_{n}(x)]_{N} \, dx + \varepsilon \\ & =\lim_{ n \to \infty } \int _{E_{N}}[f_{n}(x)]_{N} \, dx + \varepsilon \\ & \leq \lim_{ n \to \infty } \int _{E} f_{n}(x)\, dx + \varepsilon \end{align*}

由

\varepsilon

任意性可知

\int _{E}f(x) \, dx\leq \lim_{ n \to \infty } \int _{E}f_{n}(x) \, dx

故证毕.

勒贝格逐项可积定理 设 $\{ f_{n} \}$ 为可测集 $E$ 上非负可测函数列, 则

\int _{E}\left( \sum_{n=1}^{+\infty}f_{n}(x) \right) \, dx =\sum_{n=1}^{+\infty}\int _{E}f_{n}(x) \, dx

证明
设 $g_{n}(x) = \sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)$ , 显然 $\{ g_{n} \}$ 非负可测且递增, 因此由Levi定理有

\int _{E}\left( \sum_{n=1}^{+\infty}f_{n}(x) \right) \, dx =\int _{E}\lim_{ n \to \infty } g_{n}(x) \, dx = \lim_{ n \to \infty } \int _{E}g_{n}(x) \, dx =\sum_{n=1}^{+\infty} \int _{E}f(x) \, dx

Fatou引理 设 $\{ f_{n} \}$ 为可测集 $E$ 上非负可测函数列, 则

\int _{E}\varliminf_{n \to \infty} f_{n}(x) \, dx\leq \varliminf_{n \to \infty} \int _{E}f_{n}(x) \, dx

证明
设

g_{n}(x)=\inf_{k\geq n}f_{k}(x)

, 显然

\{ g_{n} \}

单增且非负, 由Levi定理

\begin{align*} \int _{E}\varliminf_{n \to \infty} f_{n}(x) \, dx & = \int _{E} \lim_{ n \to \infty } g_{n}(x) \, dx \\ & = \lim_{ n \to \infty } \int _{E}g_{n}(x) \, dx \\ & = \varliminf_{n \to \infty} \int _{E}g_{n}(x) \, dx \leq \varliminf_{n \to \infty} \int _{E} f_{n}(x)\, dx \end{align*}

导数与积分换序 设 $f(x,t)$ 为矩形 $\{ (x,t)\mid a\leq x\leq b,\alpha\leq t\leq\beta \}$ 上的二元函数, 固定 $t \in[\alpha,\beta]$ , $f(x,t)$ 为 $x$ 的可积函数. 若 $f(x,t)$ 对 $t$ 有偏导数, 且存在 $[a,b]$ 上勒贝格可积函数 $g(x)$ , 对任意 $\lvert h \rvert>0$ 有

\left\lvert \frac{f(x,t+h)-f(x,t)}{h} \right\rvert \leq g(x) \quad a.e.[a,b]

则

\int _{[a,b]}f(x,t) \, dx

在

[\alpha,\beta]

上有导函数, 且

\frac{d}{dt}\int _{[a,b]}f(x,t) \, dx =\int _{[a,b]}\frac{ \partial }{ \partial t } f(x,t) \, dx

证明
令 $\{ h_{n} \}$ 满足 $\lim_{ n \to \infty }h_{n}=0$ , 同时令

g_{n}(x,t)= \frac{f(x,t+h_{n})-f(x,t)}{h_{n}}

显然有

\lim_{ n \to \infty } g_{n}(x,t)=\frac{ \partial }{ \partial t } f(x,t)

故由Lebesgue控制收敛定理

\begin{align*} \int _{[a,b]}\frac{ \partial }{ \partial t } f(x,t) \, dx & = \int _{[a,b]}\lim_{ n \to \infty } g_{n}(x) \, dx \\ & = \lim_{ n \to \infty } \int _{[a,b]}g_{n}(x) \, dx \\ & = \lim_{ n \to \infty } \frac{\int _{[a,b]}f(x,t+h_{n}) \, dx -\int _{[a,b]}f(x,t) \, dx }{h_{n}} \\ &= \frac{d}{dt}\int _{[a,b]}f(x,t) \, dx \end{align*}

黎曼积分与勒贝格积分 设 $f(x)$ 是 $(a,b]$ 上的非负有限函数, 且 $\lim_{ x \to a^{+} }f(x)=+\infty$ , 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的黎曼反常积分存在(可积), 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上勒贝格可积, 且

\int _{a}^{b}f(x) \, dx=\int _{[a,b]}f(x) \, dx

证明
易知

f(x)

在

[a,b]

上可测. 任取

0<\varepsilon_{n}<b-a

且

\varepsilon_{n}\to 0

, 由于

f(x)

在

[a+\varepsilon_{n},b]

上黎曼可积, 故令

f_{n}(x)=I_{[a+\varepsilon_{n},b]}(x)f(x)

显然

f_{n}(x)

在

[a+\varepsilon_{n},b]

上黎曼可积, 从而在

[a+\varepsilon_{n},b]

上勒贝格可积, 且

\int _{[a,b]}f_{n}(x) \, dx =\int _{[a+\varepsilon_{n},b]}f_{n}(x) \, dx=\int _{a+\varepsilon_{n}}^{b}f_{n}(x) \, dx=\int _{a+\varepsilon_{n}}^{b}f(x) \, dx

由于

f(x)

在

[a,b]

黎曼反常积分存在且非负, 故

\lim_{ n \to \infty } \int _{[a,b]}f_{n}(x) \, dx =\lim_{ n \to \infty } \int _{a+\varepsilon_{n}}^{b}f(x) \, dx =\int _{a}^{b}f(x) \, dx

又由于

\{ f_{n} \}

在

[a,b]

上递增且几乎处处收敛到

f

, 由莱维定理

\lim_{ n \to \infty } \int _{[a,b]}f_{n}(x) \, dx=\int _{[a,b]}f(x) \, dx

故

\int _{a}^{b}f(x) \, dx=\int _{[a,b]}f(x) \, dx