03勒贝格积分——黎曼积分可积充要条件

Lingfeng2024-05-17

03勒贝格积分——黎曼积分可积充要条件

引理1 设 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 连续的充要条件是 $w(x_{0})=0$ .

证明
由 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 连续, 对于任意 $\varepsilon>0$ , 存在 $\delta>0$ , 当 $x \in O(x_{0}, \delta)$ , 有

\lvert f(x)-f(x_{0}) \rvert < \frac{\varepsilon}{2}

即

f(x_{0})- \frac{\varepsilon}{2} < f(x)<f(x_{0})+ \frac{\varepsilon}{2}

故此时

w(O(x_{0},\delta))= \sup_{x \in O(x_{0},\delta)} f(x)- \inf_{x \in O(x_{0},\delta)}f(x) \leq \varepsilon

即有

w(x_{0})=\lim_{ \delta \to 0 } w(O(x_{0},\delta))=0

反过来当

w(x_{0})=0

时, 对于任意

\varepsilon>0

, 存在

\delta>0

, 使得

w(O(x_{0},\delta))=\sup_{x \in O(x_{0},\delta)}f(x)-\inf_{x \in O(x_{0},\delta)}f(x)<\varepsilon

此时当

x \in O(x_{0},\delta)

时, 有

\begin{align*} f(x)&\leq\sup_{x \in O(x_{0},\delta)}f(x) \\ &=\inf_{x \in O(x_{0}, \delta)}f(x)+\left(\sup_{x \in O(x_{0},\delta)}f(x)-\inf_{x \in O(x_{0},\delta)}f(x)\right) \\ &< f(x_{0})+\varepsilon \end{align*}

同理有

\begin{align*} f(x)&\geq \inf_{x \in O(x_{0}, \delta)}f(x) \\ &= \sup_{x \in O(x_{0}, \delta)}f(x)-\left( \sup_{x \in O(x_{0}, \delta)}f(x)-\inf_{x \in O(x_{0}, \delta)}f(x) \right) \\ &> f(x_{0})-\varepsilon \end{align*}

即当

x \in O(x_{0},\delta)

时, 有

f(x_{0})-\varepsilon<f(x)<f(x_{0})+\varepsilon

故

f(x)

在点

x_{0}

连续.

引理2 设 $f(x)$ 定义在闭集 $E$ 上, 则对任给的 $\varepsilon>0$ , 点集 $E_{\varepsilon}=E(w\geq\varepsilon)$ 恒为闭集, 从而 $f(x)$ 在 $E$ 上的不连续点全体构成一个 $F_{\sigma}$ 型集.

证明
欲证 $E_{\varepsilon}$ 为闭集, 只需证 $E'_{\varepsilon} \subset E_{\varepsilon}$ . 对于任意 $x_{0} \in E'_{\varepsilon}$ , 即证

w(x_{0})\geq\varepsilon

首先由

E'_{\varepsilon}\subset E'\subset E

, 知

x_{0} \in E

. 又根据聚点定义知, 对于任意

\delta>0

, 有

(O(x_{0},\delta)\setminus \{ x_{0} \})\cap E_{\varepsilon}\neq\varnothing

此时设

x_{1} \in (O(x_{0},\delta)\setminus \{ x_{0} \})\cap E_{\varepsilon}

, 一方面存在

\delta_{1}>0

, 有

O(x_{1},\delta_{1})\cap E\subset O(x_{0},\delta)\cap E

另一方面显然

x_{1} \in E_{\varepsilon}

因此对于任意

\delta>0

, 有

w(O(x_{0},\delta)\cap E)\geq w(O(x_{1},\delta)\cap E)\geq w(x_{1})\geq\varepsilon

故

w(x_{0})\geq\varepsilon

, 即证毕. 根据引理1, 显然所有不连续点全体为

D=E(w>0)=\bigcup_{k = 1}^{\infty} E\left( w> \frac{1}{k} \right)

定理 $[a,b]$ 上的有界函数 $f(x)$ 是黎曼可积的, 当且仅当在 $[a,b]$ 上 $f(x)$ 的一切不连续点构成一个勒贝格零测度集.

证明
首先证明必要性. 记 $E=[a,b]$ , 由引理2知 $f(x)$ 在 $E$ 上的不连续点全体为

D=\bigcup_{k = 1}^{\infty} E\left( w\geq \frac{1}{k} \right)

此时记

E_{k}=E\left( w\geq \frac{1}{k} \right)

, 欲证

m(D)=0

, 只需证对于任意正整数

k

, 有

m\left( E_{k} \right)=0

此时考虑用开区间集

\{ I_{i} \}

将

E_{k}

覆盖, 只需证明对于任意

\varepsilon>0

, 有

\sum_{i=1}^{+\infty}\lvert I_{i} \rvert <\varepsilon

对于分划

\Delta:a=x_{0}<x_{1}<\dots<x_{i-1}<x_{i}<\dots<x_{n}<b

记

I_{i}=(x_{i-1},x_{i})

\lvert I_{i} \rvert=\Delta x_{i}

. 对于任意

\varepsilon>0

, 对于端点, 必然存在开区间

\{ J_{i} \}

将其覆盖, 且满足

m(J_{i})< \frac{\varepsilon}{2}

故只需考虑

I_{i}\cap E\left( w\geq \frac{1}{k} \right)\neq\varnothing

的情况. 记

I_{i}\cap E\left( w\geq \frac{1}{k} \right)\neq\varnothing

的指标集为

A_{k}

, 下面只需证明

\sum_{i \in A_{k}}\lvert I_{i} \rvert < \frac{\varepsilon}{2}

此时注意到当

i \in A_{k}

时, 有

w(I_{i})\geq w\left( I_{i}\cap E\left( w \geq \frac{1}{k} \right) \right)\geq \frac{1}{k}

这说明覆盖

E_{k}

的开区间上幅度均有下界, 因此区间长度均有上界, 即

\sum_{i \in A_{k}}w(I_{i})\lvert I_{i} \rvert \geq \frac{1}{k}\sum_{i \in A_{k}}\lvert I_{i} \rvert

故有

\sum_{i \in A_{k}}\lvert I_{i} \rvert\leq k \sum_{i \in A_{k}}w(I_{i})\lvert I_{i} \rvert

故下面只需使

\sum_{i \in A_{k}}w(I_{i})\lvert I_{i} \rvert < \frac{\varepsilon}{2k}

而这是容易办到的, 因为

f(x)

黎曼可积, 因此必然存在划分, 使得

\sum_{i \in A_{k}}w(I_{i})\lvert I_{i} \rvert\leq\sum_{i=1}^{n}w(I_{i})\lvert I_{i} \rvert < \frac{\varepsilon}{2k}

因此对于任意

\varepsilon>0

, 存在开覆盖

\{ I_{i} \}

, 使得

E_{k}\subset\bigcup_{i = 1}^{\infty}I_{i}

, 且有

m\left( \bigcup_{i = 1}^{\infty} I_{i} \right)<\varepsilon

因此

m^{*}(E_{k})=0

, 即

m(E_{k})=0

, 故证毕.

下面再证明充分性. 若 $f(x)$ 的不连续点集测度为 $0$ , 即

m\left( \bigcup_{k = 1}^{\infty} E\left( w\geq \frac{1}{k} \right) \right)=0

显然对任意的

k

, 也有

m\left( E\left( w\geq \frac{1}{k} \right) \right)=0

下面将

E

划分为两部分. 一方面, 在幅度大的区域, 有

\sum_{w_{i}\geq \frac{1}{k}}w_{i}\Delta x_{i}\leq \left( \sup_{x \in E}f(x)-\inf_{x \in E}f(x) \right) \sum_{w_{i}\geq \frac{1}{k}}\Delta x_{i}\leq 2M\sum_{w_{i}\geq \frac{1}{k}}\Delta x_{i}

其中

M

为

f(x)

的界, 即

\lvert f(x) \rvert\leq M

. 由于

m\left( E\left( w\geq \frac{1}{k} \right) \right)=0

, 因此只需作开区间集

\{ I_{i} \}_{i=1}^{\infty}

将该区域覆盖, 对于任意

\varepsilon>0

, 令

\sum_{i=1}^{+\infty}\lvert I_{i} \rvert < \frac{\varepsilon}{4M}

又由有限覆盖定理, 也存在有限个不相交开区间(不妨记为

I_{1},I_{2},\dots,I_{m}

)将该区域覆盖, 此时

\sum_{i=1}^{m}w(I_{i})\lvert I_{i} \rvert< 2M\cdot \frac{\varepsilon}{4M} =\frac{\varepsilon}{2}

另一方面, 注意到剩余部分

E\setminus\left( \bigcup_{i = 1}^{k}I_{i} \right)\subset E\left( w< \frac{1}{k} \right)

且必为有限个不相交的闭区间构成, 去掉其端点得到不相交开区间集

\{ J_{i} \}_{i=1}^{n}

. 此时

\sum_{i=1}^{n}w(J_{i})\lvert J_{i} \rvert < \frac{1}{k}\sum_{i=1}^{n}\lvert J_{i} \rvert \leq \frac{1}{k}(b-a)

故只需取

k = \frac{2(b-a)}{\varepsilon}

, 此时有

\sum_{i=1}^{n}w(J_{i})\lvert J_{i} \rvert< \frac{\varepsilon}{2}

此时

\{ I_{i} \}_{i=1}^{m}

与

\{ J_{i} \}_{i=1}^{n}

所有端点合在一起构成

[a,b]

的一个分划

\Delta

, 在该分划下显然有

\sum_{i=1}^{m+n}w_{i}\Delta x_{i}<\varepsilon

故证毕.