Definition (二次型)
设，则二次型形如其中为实对称矩阵。
Definition (合同变换)
称矩阵，是合同的，如果有可逆矩阵，使得
Definition (标准型)
二次型经过非退化线性替换后得到其中为对角矩阵，称为标准型。
Theorem (实对称矩阵性质)
任意一个对称矩阵合同与一对角矩阵。
Definition (正定二次型)
若实二次型是正定的，如果对于任意的，都有
Theorem (正定二次型性质)
实对称矩阵是正定的当且仅当其与单位矩阵合同。
Corollary (推论)
正定矩阵行列式大于零。
由于与单位矩阵合同，则
Theorem (正定二次型判定定理)
实二次型是正定的充要条件为的顺序主子式全大于零。
充分性。由于顺序主子式对应的矩阵仍是正定矩阵，因此充分性显然。
必要性。考虑归纳法，由归纳假设，存在使得，此时令因此再令此时设，则令，此时因此矩阵与单位矩阵合同，故证毕。
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