01-1行列式

Lingfeng2025-07-08

01-1行列式

1. 排列

Definition (排列)

由组成的一个有序数组称为一个阶排列。

Definition (逆序)

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，成为逆序。逆序的总数称为逆序数，记为

逆序数为偶数的排列为偶排列，逆序数为奇数的排列为奇排列。

2. n 阶行列式

Definition (n 阶行列式)

3. n 阶行列式的性质

Theorem (性质 1)

行列互换，行列式不变。

Theorem (性质 2)

Theorem (性质 3)

Theorem (性质 4)

如果行列式中有两行相同，则行列式为零。

Theorem (性质 5)

如果行列式中两行成比例，则行列式为零。

Theorem (性质 6)

把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

Theorem (性质 7)

对换行列式中两行的位置，行列式反号。

4. 行列式按行分解

Theorem (拉普拉斯定理)

设在行列式中任意取定个行，由这行元素组成一切阶子式及其代数余子式的乘积的和等于行列式，即

Theorem (代数余子式性质)

在行列式中，一行的元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积之和为 0。即

Theorem (范德蒙德行列式)

考虑归纳法，显然有

下面考虑构造多项式

显然均为的根，又由为阶多项式，因此

此时对最后一列展开，注意到仅由最高次项决定，由归纳假设有

代入即有

此时令即证毕。

5. 行列式与矩阵

Lemma (分块上三角矩阵的行列式)

设

则

Theorem (分块矩阵的行列式)

设

则

考虑构造

此时

因此

Theorem (行列式与矩阵数乘)

Theorem (行列式与矩阵乘法)

6. 克拉默法则

Theorem (克拉默法则)

设线性方程组，解可表示为

求行列式时间复杂度为，每一个未知数都要求行列式，因此时间复杂度为。

使用高斯消元法或者 LU 分解时间复杂度为。

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