03数字特征与特征函数

Lingfeng2025-09-04

03数字特征与特征函数

1. 期望

1.1 期望

Definition (期望)

设具有密度函数的连续型随机变量，当积分绝对收敛时，称其数学期望为

Theorem (随机变量函数的期望)

设，若，且其期望存在，则

Theorem (最小均方误差)

注意到

Theorem (分布函数期望公式)

设为非负连续型随机变量，分布函数为，则

考虑

而后面的等式注意到

因此

Corollary (非负离散随机变量期望公式)

设为非负离散型随机变量，则

类似地

1.2 条件期望

Definition (条件期望)

对于离散型变量

对于连续型变量

其中

Theorem (条件期望性质)

Theorem (条件最小均方误差)

注意到

而

故证毕。

Theorem (全期望公式)

对于随机变量和，有

2. 方差和协方差

2.1 方差

Definition (方差)

设随机变量，其方差为

Theorem (方差分解)

Theorem (方差性质)

设为常数，则

当时取等。

2.2 条件方差

Definition (条件方差)

对于随机变量和，条件方差定义为

Theorem (条件方差性质)

Theorem (方差分解公式)

注意到

而

因此

3. 协方差与相关系数

Definition (协方差)

Theorem (协方差与期望)

Theorem (协方差与方差)

Definition (相关系数)

Theorem (Cauchy-Schwarz不等式)

考虑

Corollary (相关系数取值范围)

Theorem (不相关性与独立性)

二值随机变量独立性和不相关性等价。

设取，取，则记，，此时考虑

此时

因此不相关与独立等价。

Corollary (事件相关系数)

Corollary (推论2)

4. 矩与分位数

4.1 矩

Definition (矩)

阶原点矩

阶中心矩

注意到

反过来

4.2 分位数

Definition (分位数)

对于，若

则称为分布函数的分位数。

5. 特征函数

Definition (特征函数)

设，则特征函数为

Theorem (随机变量的和)

两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们特征函数之积。

Theorem (特征函数与矩)

若随机变量有阶矩存在，则其特征函数可微分次，且当时，有

Corollary (特征函数展开)

若随机变量存在阶矩，则

Theorem (随机变量和的特征函数)

两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们特征函数的积。

Theorem (特征函数线性变换)

Theorem (特征函数唯一性)

分布函数由其特征函数唯一决定。

ON THIS PAGE