03-2矩阵的秩专题

Lingfeng2025-07-18

03-2矩阵的秩专题

1. 常见不等式

Theorem (性质 1)

对于，，也有，因此

因此

从而

另一方面考虑转置，同理有

因此

Theorem (性质 2)

Theorem (性质 3)

注意到

因此

Theorem (性质 4)

使用方程组同解证明。

Theorem (性质 5)

若、为，矩阵，，则

由

即证。

Theorem (性质 6)

左乘列满秩，右乘行满秩，秩不变。

法一

设为矩阵，为矩阵，且列满秩。此时考虑构造左逆

此时有

因此

因此

而又有

因此秩不变。

法二

对于，，也有。

同时对于，由于列满秩()，因此。从而。

因此与同秩。

Theorem (性质 7)

设，分别为，矩阵，则

考虑

因此

Theorem (性质 8)

若且，则

注意到

同时由性质5

故证毕。

Corollary (推论 1)

阶矩阵是幂等矩阵()，则

Corollary (推论 2)

阶矩阵是对合矩阵（），则

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1. 常见不等式