03-1矩阵

Lingfeng2025-07-17

03-1矩阵

1. 矩阵的逆

1.1 逆矩阵

Definition (逆矩阵)

若

AB=BA=I

则称

B

为

A

的逆矩阵

A^{-1}

Theorem (性质1)

\lvert A^{-1} \rvert=\frac{1}{\lvert A \rvert }

Theorem (性质2)

(A^{-1})^{-1}=A

Theorem (性质3)

(A^{\top})^{-1}=(A^{-1})^{\top}

由于

AA^{-1}=A^{-1}A=E

因此

(A^{-1})^{\top}A^{\top}=A^{\top}(A^{-1})^{\top}=E^{\top}=E

即

(A^{\top})^{-1}=(A^{-1})^{\top}

Theorem (性质4)

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

Definition (性质5)

(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}

1.2 伴随矩阵

Definition (伴随矩阵)

设 $A=\left(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{matrix}\right)$ ，矩阵

A^{*}=\left(\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{matrix}\right)

称为

A

的伴随矩阵。

Theorem (性质1)

A A^{*}=\lvert A \rvert I

Theorem (性质2)

(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}=\frac{A}{\lvert A \rvert }

一方面

(A^{*})^{-1}=(\lvert A \rvert A^{-1})^{-1}=\frac{1}{\lvert A \rvert }(A^{-1})^{-1}=\frac{A}{\lvert A \rvert }

另一方面

(A^{-1})^{*}=\lvert A^{-1} \rvert (A^{-1})^{-1}= \frac{A}{\lvert A \rvert }

Theorem (性质3)

(kA)^{*}=k^{n-1}A^{*}

注意到

(kA)^{*}=\lvert kA \rvert (kA)^{-1}=k^{n}\lvert A \rvert \frac{1}{k}A^{-1}=k^{n-1}\lvert A \rvert A^{-1}=k^{n-1}A^{*}

Theorem (性质4)

(A^{*})^{\top}=(A^{\top})^{*}

Theorem (性质5)

\lvert A^{*} \rvert=\lvert A \rvert ^{n-1}

由

\lvert A^{*} \rvert =\lvert \lvert A \rvert A^{-1} \rvert = \lvert A \rvert^{n} \frac{1}{\lvert A \rvert }=\lvert A \rvert^{n-1}

Theorem (性质6)

(A^{*})^{*}=\lvert A \rvert^{n-2}A

注意到

(A^{*})^{*}=\lvert A^{*} \rvert (A^{*})^{-1}=\lvert A \rvert ^{n-1} \frac{A}{\lvert A \rvert }=\lvert A \rvert ^{n-2}A

Theorem (性质7)

r(A^{*})=\begin{cases} n, & r(A)=n \\ 1, & r(A)=n-1 \\ 0, & r(A)<n-1 \end{cases}

$A$ 满秩情况显然。当 $r(A)=n-1$ ，由矩阵秩定义，存在 $n-1$ 阶子式 $\neq 0$ ，即存在

A_{ij}\neq 0

从而

r(A^{*})\geq 1

而注意到

A A^{*}=\lvert A \rvert I=0

因此

A^{*}

的列向量在

A

的零空间里，从而

r(A^{*})\leq r(N(A))=n-(n-1)=1

因此

r(A^{*})=1

。而当

r(A)<n-1

，此时所有

A_{ij}=0

，因此

A^{*}=O

。

2. 初等矩阵

2.1 矩阵的初等矩阵

Definition (初等矩阵)

设初等矩阵为

P(i,j),\quad P(i(c)), \quad P(i, j(k))

分别表示第

i

行和第

j

行互换、第

i

行乘上

c

，把第

j

行的

k

倍加到第

i

行。

Theorem (初等矩阵的逆)

\begin{align*} P(i,j)^{-1} & =P(i,j) \\ P(i(c)) & = P(i(c^{-1})) \\ P(i, j(k))^{-1} & = P(i,j(-k)) \end{align*}

Theorem (初等矩阵的乘积)

\begin{align*}P(i,j)P(i,j) & =I \\ P(i(k))P(i(l)) & =P(i(kl)) \\ P(i,j(k))P(i,j(l)) & = P(i,j(k+l))\end{align*}

Theorem (初等矩阵分解)

$n$ 阶矩阵 $A$ 为可逆的充分必要条件为它能分解为初等矩阵的乘积，即

A=P_{1}P_{2}\dots P_{m}

2.2 分块矩阵的初等矩阵

Definition (分块矩阵的初等矩阵)

分块矩阵的初等矩阵有

\begin{pmatrix} O & I \\ I & O \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}P & O \\ O & I \end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix} I & O \\ P &I \end{pmatrix}

Theorem (分块矩阵的初等矩阵的逆)

\begin{align*} \begin{pmatrix} O & I \\ I & O \end{pmatrix}^{-1} & =\begin{pmatrix} O & I \\ I & O \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}P & O \\ O & I \end{pmatrix}^{-1} & = \begin{pmatrix}P^{-1} & O \\ O & I \end{pmatrix} \\\begin{pmatrix} I & O \\ P & I \end{pmatrix}^{-1} & =\begin{pmatrix} I & O \\ -P & I \end{pmatrix} \end{align*}

Theorem (分块矩阵初等矩阵的乘积)

\begin{align*}\begin{pmatrix}O & I \\ I & O\end{pmatrix}\begin{pmatrix}O & I \\ I & O\end{pmatrix} & =I \\ \begin{pmatrix} A & O \\ O & I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B & O \\ O & I \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} AB & O \\ O & I \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} I & O \\ A & I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I & O \\ B & I \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} I & O \\ A+B & I \end{pmatrix}\end{align*}

3. 矩阵的分块

3.1 准对角矩阵

Definition (准对角矩阵)

设

\mathrm{diag}(A_{1},A_{2},\dots,A_{l})=\begin{pmatrix} A_{1} & & & O \\ & A_{2} & & \\ & & \ddots & \\ O & & & A_{l} \end{pmatrix}

为准对角矩阵，其中

A_{i}

是

n_{i}\times n_{i}

矩阵。

Theorem (性质1)

若 $A_{1},A_{2},\dots,A_{l}$ 都是可逆矩阵，则

\mathrm{diag}^{-1}(A_{1},A_{2},\dots,A_{l})=\mathrm{diag}(A_{1}^{-1},A_{2}^{-1},\dots,A_{l}^{-1})

Theorem (性质2)

设 $A=\mathrm{diag}(A_{1},A_{2},\dots,A_{l})$ ， $B=\mathrm{diag}(B_{1},B_{2},\dots,B_{l})$ ，则

\begin{align*}A+B&=\mathrm{diag}(A_{1}+B_{1},A_{2}+B_{2},\dots,A_{l}+B_{l}) \\ AB&=\mathrm{diag}(A_{1}B_{1},A_{2}B_{2},\dots,A_{l}B_{l})\end{align*}

Theorem (性质3)

设

A=\mathrm{diag}(a_{1}I_{1},a_{2}I_{2},\dots,a_{r}I_{r})

其中

I_{i}

是

n_{i}\times n_{i}

的单位矩阵，且

a_{i}\neq a_{j}

，当

i\neq j

。则矩阵

B

与

A

可交换充要条件

B

是准对角矩阵。

充分性显然，下面证明必要性。若 $AB=BA$ ，下面证明 $B$ 为准对角矩阵。

设

B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1r} \\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ B_{r 1} & B_{r 2} & \dots & B_{r r} \end{pmatrix}

其中

B_{ij}

为

n_{i}\times n_{j}

矩阵。此时同样对

AB

和

BA

进行划分，有

(AB)_{ij}=\sum_{k = 1}^{r} A_{ik}B_{kj}=A_{ii}B_{ij}=a_{i}B_{ij}

同理有

(BA)_{ij}=\sum_{k = 1}^{r} B_{ik}A_{kj}=B_{ij}A_{jj}=a_{j}B_{ij}

由于可互换，因此

a_{j}B_{ij}=a_{i}B_{ij}

而

a_{i}\neq a_{j}

，当

i\neq j

。因此

B_{ij}=O,\quad i\neq j

从而

B

是准对角矩阵。

3.2 分块矩阵

Theorem (分块矩阵准对角化)

设

M=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}

若

A^{-1}

存在，则

M

可以准对角化

M=\begin{pmatrix} I & \\ CA^{-1} & I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & \\ & M\mid A \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I & A^{-1}B \\ & I \end{pmatrix}

其中

M\mid A=D-CA^{-1}B

表示

M

关于

A

的舒尔补。

注意到

\begin{pmatrix} I & O \\ -CA^{-1} & I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I & -A^{-1}B \\ O & I \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A & O \\ O & D-CA^{-1}B \end{pmatrix}

因此

\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I & \\ CA^{-1} & I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & \\ & D-CA^{-1}B \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I & A^{-1}B \\ & I \end{pmatrix}

Theorem (分块矩阵的秩)

\begin{align*} r\begin{pmatrix}A & O \\ O & B \end{pmatrix} & =r(A)+r(B) \\ r\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \end{pmatrix} & \geq r(A)+r(B) \end{align*}

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