03-1矩阵

Lingfeng2025-07-17

03-1矩阵

1. 矩阵的逆

1.1 逆矩阵

Definition (逆矩阵)

若

则称为的逆矩阵.

Theorem (性质1)

Theorem (性质2)

Theorem (性质3)

由于

因此

即

Theorem (性质4)

Definition (性质5)

1.2 伴随矩阵

Definition (伴随矩阵)

设，矩阵

称为的伴随矩阵。

Theorem (性质1)

Theorem (性质2)

一方面

另一方面

Theorem (性质3)

注意到

Theorem (性质4)

Theorem (性质5)

由

Theorem (性质6)

注意到

Theorem (性质7)

满秩情况显然。当，由矩阵秩定义，存在阶子式，即存在

从而

而注意到

因此的列向量在的零空间里，从而

因此。而当，此时所有，因此。

2. 初等矩阵

2.1 矩阵的初等矩阵

Definition (初等矩阵)

设初等矩阵为

分别表示第行和第行互换、第行乘上，把第行的倍加到第行。

Theorem (初等矩阵的逆)

Theorem (初等矩阵的乘积)

Theorem (初等矩阵分解)

阶矩阵为可逆的充分必要条件为它能分解为初等矩阵的乘积，即

2.2 分块矩阵的初等矩阵

Definition (分块矩阵的初等矩阵)

分块矩阵的初等矩阵有

Theorem (分块矩阵的初等矩阵的逆)

Theorem (分块矩阵初等矩阵的乘积)

3. 矩阵的分块

3.1 准对角矩阵

Definition (准对角矩阵)

设

为准对角矩阵，其中是矩阵。

Theorem (性质1)

若都是可逆矩阵，则

Theorem (性质2)

设，，则

Theorem (性质3)

设

其中是的单位矩阵，且，当。则矩阵与可交换充要条件是准对角矩阵。

充分性显然，下面证明必要性。若，下面证明为准对角矩阵。

设

其中为矩阵。此时同样对和进行划分，有

同理有

由于可互换，因此

而，当。因此

从而是准对角矩阵。

3.2 分块矩阵

Theorem (分块矩阵准对角化)

设

若存在，则可以准对角化

其中

表示关于的舒尔补。

注意到

因此

Theorem (分块矩阵的秩)

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