05极限定理

Lingfeng2025-09-07

05极限定理

1. 收敛性

Definition (以分布收敛)

若对于和，对于所有连续点有

则

Definition (依概率收敛)

若对于和，有

则

Definition (收敛)

若对于和，有

则

Definition (几乎处处收敛)

若对于和，有

则

Theorem (收敛关系)

2. 大数定律

2.1 切比雪夫大数定律

Lemma (切比雪夫不等式)

Theorem (切比雪夫大数定律)

设为两两不相关的随机变量序列，方差有限且有公共上界，则对于任意，有

即

设，直接使用切比雪夫不等式

Corollary (马尔可夫大数定律)

设为随机变量序列，若

则满足大数定律。

2.2 伯努利大数定律

Theorem (伯努利大数定律)

设为伯努利试验中成功次数，为试验概率，则对任意的，有

2.3 辛钦大数定律

Definition (辛钦大数定律)

设独立同分布，且有有限期望，则对任意的，有

即

3. 强大数定律

Theorem (科尔莫洛夫强大数定律)

设为独立随机变量序列，若，则

即

Corollary (科尔莫洛夫定理)

设独立同分布，且存在期望，则

4. 中心极限定理

Theorem (中心极限定理)

设独立同分布，且有有限期望与有限方差，则设，则有

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