02随机变量与分布

Lingfeng2025-09-02

02随机变量与分布

1. 基本概念

Definition (随机变量)

设，若关于为可测函数，即

则称是上的随机变量。

Definition (分布函数)

设概率空间，函数

称为随机变量的分布函数。

单调性：若，则
，
右连续性：

这是因为

但是

2. 随机变量的变换

2.1 变换公式

Theorem (随机变量变换公式)

若为连续性随机变量，其密度函数为，而，则其密度函数满足：

若严格单调，则
若在不重叠区间上逐段严格单调，其反函数为，且均为连续函数，则

Theorem (随机向量变换公式)

若的密度函数为，而，则其密度函数满足：

若为双射，逆变换是连续可微函数，且雅可比行列式不为 0，则
若在中是双射，且在每个区域存在唯一逆变换，则

Example (和的分布)

若，求的密度函数为，求。

考虑构造

此时

因此

从而

Example (商的分布)

若，求的密度函数为，求。

同理

有

此时

因此

从而

2.2 次序统计量

Theorem (次序统计量的分布)

若独立同分布，分布函数为，密度函数为，设为次序统计量，则的密度函数为

Corollary (极值统计量的分布)

极小值

极大值

Theorem (多个次序统计量的分布)

次序统计量的联合分布密度函数为

Example (极差的分布)

设，概率密度函数为，求极差的分布。

注意到概率密度函数为

因此

Corollary (次序统计量的联合分布)

个次序统计量的联合分布为

3. 随机变量的独立性

Theorem (随机变量独立性判别)

若连续型随机变量概率密度函数可以写成

则相互独立。

Example (指数分布次序统计量差的独立性)

设，，求证次序统计量的差，相互独立，其中。

设

此时

计算

因此

即

且相互独立。

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