04假设检验

Lingfeng 2025-03-26

04假设检验

设 $H_{0}:r_{1},r_{2},\dots,r_{n}$ 来自区间 $[0,1]$ 上的均匀总体，将 $[0,1]$ 均匀划分为 $m$ 个区间，设 $n_{i}$ 为落入第 $i$ 个区间的数目， $\mu_{i}=\frac{n}{m}$ 为第 $i$ 个小区间的理论频数。当 $H_{0}$ 成立时，有 $T=\sum_{i = 1}^{m} \frac{(n_{i}-\mu_{i})^{2}}{\mu_{i}}=\frac{m}{n}\sum_{i = 1}^{m} \left( n_{i}-\frac{n}{m} \right)^{2}\sim \chi^{2}(m-1)$

1.2 单样本 K-S 检验

Definition (K-S 检验)

设 $H_{0}:X_{1},X_{2},\dots,X_{n}$ 来自分布函数 $F(\cdot)$ 的总体，此时设 $K-S$ 统计量为 $K_{n}=\max_{1\leq i\leq n}\left\{ \max\left\{ \left\lvert F(X_{(i)})-\frac{i}{n} \right\rvert, \left\lvert F(X_{(i)})-\frac{i-1}{n} \right\rvert \right\} \right\}$ $H_{0}$ 成立时，K-S统计量依分布收敛于Kolmogorov分布，其分布函数 $P\{ K_{n}<x \}=1-2\sum_{j = 1}^{\infty} (-1)^{j}\exp \{ -2nj^{2}x^{2} \},x>0$

1.3 变量值随机性检验

Definition (游程检验)

对于序列按照某种顺序排列（如从小到大）的数据分成若干子序列，每一个子序列称为一个游程。设游程长度为 $1,2,3,4,5$ 和 $\geq 6$ 的游程数目为 $G_{i}$ ，令 $G=(G_{1},G_{2},G_{3},G_{4},G_{5},G_{6})^{T}$ ，可证明有 $E(G)=n(b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6})^{T}=n\left( \frac{1}{6}, \frac{5}{24}, \frac{11}{120}, \frac{19}{720}, \frac{29}{5040}, \frac{1}{840} \right)$ 此时当 $n$ 趋于无穷时，有 $Q_{n}=(G-E(G))^{T}\Sigma_{G}^{-1}(G-E(G))\sim \chi^{2}(6)$

2. 两样本的非参数检验

2.1 两样本的曼-惠特尼U检验

Definition (秩)

设样本观测值为 $X = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ ，其对应的秩为 $R = (r_1, r_2, \dots, r_n)$ ，其中 $r_i$ 为 $x_i$ 在排序后的排名，有重复值为重复值秩的平均。

Definition (曼-惠特尼 U 检验 (Wilcoxon 秩和检验))

设 $X_{i}\sim F(x),i=1,\dots,n$ ， $Y_{i}\sim F(x-\mu),i=1,\dots,m$ ， $H_{0}:\mu=0$ 。此时设 $W_{yx}=\frac{1}{mn}\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} I\{ Y_{j}\leq X_{j} \}$ 则有 $\frac{W_{yx}-\frac{1}{2}}{\sqrt{ \frac{m+n+1}{12mn} }}\stackrel{L}{\longrightarrow}N(0,1)$

2.2 两样本的 K-S 检验

Definition (两样本的 K-S 检验)

设 $X_{i}\sim F(x),i=1,\dots,n$ ， $Y_{i}\sim G(x),1,\dots,m$ ， $H_{0}:F(x)=G(x)$ 。此时令 $D_{N}=\max\left\{ \max_{1\leq i\leq n}\lvert F_{n}(X_{i})-G_{m}(X_{i}) \rvert ,\max_{1\leq j\leq m} \left\lvert F_{n}(Y_{j})-G_{m}(Y_{j}) \right\rvert \right\}$ 则有 $P\{ D_{N}\leq x \}=1-2\sum_{j = 1}^{\infty} (-1)^{j}\exp \left\{ -\frac{2j^{2}mnx^{2}}{N} \right\},x>0$

2.3 两样本的游程检验

Definition (Wald-Wolfowitz游程检验)

将两个样本混合后排序，来自同一样本的观测值序列称为一个游程，设游程个数为 $W$ ，此时有 $\frac{W-2N\tau^{2}(1-\tau)}{\sqrt{ 4N\tau^{2}(1-\tau)^{2} }}\stackrel{L}{\longrightarrow}N(0,1)$ 其中 $\tau=\lim_{ n,m \to \infty } \frac{n}{m+n}$ 。

3. 独立性检验

3.1 列联分析检验

Definition (列联分析检验)

Q=\sum_{i = 1}^{r} \sum_{j = 1}^{c} \frac{\left( n_{ij}- \frac{n_{i\cdot}n_{\cdot j}}{n} \right)}{\frac{n_{i\cdot}n_{\cdot j}}{n}} \stackrel{L}{\longrightarrow}\chi^{2}((r-1)(c-1))

3.2 相关系数检验

Definition (Pearson 相关系数)

$r= \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i}-\bar{X})(Y_{i}-\bar{Y})}{\sqrt{ \sum_{i = 1}^{n} (X_{i}-\bar{X})^{2} \sum_{i = 1}^{n}(Y_{i}-\bar{Y})^{2} }}$ 当 $(X,Y)$ 服从二元正态分布时，有 $t=r\sqrt{ \frac{n-2}{1-r^{2}} }\sim t(n-2)$

Definition (Spearman $r_{s}$ 秩相关系数)

记 $(X_{i},Y_{i})$ 在各自样本中的秩为 $(R_{i},S_{i})$ ，定义 $r_{s}= \frac{\sum_{i = 1}^{n} (R_{i}-\bar{R})(S_{i}-\bar{S})}{\sqrt{ \sum_{i = 1}^{n} (R_{i}-\bar{R})^{2}\sum_{i = 1}^{n} (S_{i}-\bar{S})^{2} }}$ 设 $d_{i}^{2}=(R_{i}-S_{i})^{2}$ ，此时有 $r_{s}=1- \frac{6\sum_{i = 1}^{n} d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}$ 当 $n$ 充分大时，有 $r_{s}\sqrt{ n-1 }\stackrel{L}{\longrightarrow}N(0,1)$

Definition (Kendall $\tau$ 相关系数)

$\tau=\binom{n}{2}^{-1}\sum_{1 \leq i\leq j} \mathrm{sign}\{ (X_{i}-X_{j})(Y_{j}-Y_{j}) \}$ 有 $\tau \sqrt{ \frac{9n(n-1)}{2(2n+5)} }\stackrel{L}{\longrightarrow}N(0,1)$

04假设检验

04假设检验

1. 单样本拟合优度检验

1.1 总体分布的卡方检验

1.2 单样本 K-S 检验

1.3 变量值随机性检验

2. 两样本的非参数检验

2.1 两样本的曼-惠特尼U检验

2.2 两样本的 K-S 检验

2.3 两样本的游程检验

3. 独立性检验

3.1 列联分析检验

3.2 相关系数检验