01集合与测度——不连续点的基数问题

Lingfeng 2024-04-16

01集合与测度——不连续点的基数问题

设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的实值函数, 则点集 $\{ x \in \mathbb{R} \mid f(x)\text{在}x\text{处不连续}, \text{右极限}f(x+0)\text{存在} \}$ 为可数集

令 $S=\{ x \in \mathbb{R} \mid f(x+0)\text{存在} \}$ , 对每个自然数 $n$ , 作 $E_{n}=\left\{ x \in \mathbb{R} \mid \exists\delta>0, \forall x', x'' \in (x-\delta,x+\delta),\lvert f(x')-f(x'') \rvert < \frac{1}{n} \right\}$ 显然, $\bigcap_{n = 1}^{\infty}E_{n}$ 为 $f(x)$ 的连续点集, 下面只需证明 $S\backslash E_{n}(n=1, 2,\dots)$ 为可数集即可.

对于任意取定的 $n$ , $\forall x \in S\backslash E_{n}, \exists \delta>0, s.t.$ $\left\lvert f(x')-f(x+0)< \frac{1}{2n} \right\rvert,x' \in (x, x+\delta)$ 故 $\forall x',x''\in(x,x+\delta)$ , 有 $\left\lvert f(x')-f(x'')< \frac{1}{n} \right\rvert$ 即有 $(x,x+\delta)\in E_{n}$ . 这说明, $\forall x \in S\backslash E_{n}, \exists I_{x}=(x,x+\delta)$ , 有 $I_{x} \in E_{n}$ .

故 $\forall x_{1},x_{2} \in S\backslash E_{n}$ , 且 $x_{1} \neq x_{2}$ , 必有 $I_{x_{1}}\cap I_{x_{2}}=\varnothing$ . 否则不妨设 $x_{1}<x_{2}$ , 必有 $x_{2} \in I_{x_{1}}$ , 而 $I_{x_{1}} \in E_{n}$ , 与 $x_{2} \in S\backslash E_{n}$ 矛盾. 故 $\{ I_{x} \mid x \in S\backslash E_{n} \}$ 是可数的, 即 $S\backslash E_{n}$ 是可数集.

故 $S\backslash \left( \bigcap_{n = 1}^{\infty}E_{n} \right)=\bigcup_{n = 1}^{\infty}(S\backslash E_{n})$ 也为可数集.