03-1更新过程

Lingfeng 2024-10-06

03-1更新过程

1. 更新过程的定义及性质

1.1 定义

Definition (更新过程)

设 $\{ X_{n},n=1,2,\dots \}$ 是一串独立同分布的非负随机变量，分布函数为 $F(x)$ ，令 $T_{n}=\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$ ， $n\geq 1$ ， $T_{0}=0$ 。我们把 $N(t)=\sup\{ n: T_{n}\leq t\}$ 定义的计数过程称为更新过程。

注意到有这样的性质 $\inf\{ n:T_{n} >t\}- \sup\{ n: T_{n}\leq t\}=1$

1.2 性质

Theorem (性质一)

P\{ N(t)<+\infty \}=1

证明
由强大数定理 $\frac{\sum_{i = i}^{n}X_{i}}{n}=\frac{T_{n}}{n}\stackrel{a.s}{\longrightarrow}\mu$ 因此在有限时间内最多只能发生有限次更新。

Theorem (性质二)

P\{ N(t)=n \}=P\left\{ \sum_{i = 1}^{n} X_{i}\leq t \right\}-P\left\{ \sum_{i = 1}^{n+1} X_{i}\leq t \right\}

证明
注意到 $\{ N(t)\geq n \} \iff \{ T_{n}\leq t \}$ 因此 $\begin{align*} P\{ N(t)=n \} & = P\{ N(t)\geq n \}-P\{ N(t)\geq n+1 \} \\ & = P\{ T_{n}\leq t \}-P\{ T_{n+1}\leq t \} \\ & = P\left\{ \sum_{i = 1}^{n} X_{i}\leq t \right\}-P\left\{ \sum_{i = 1}^{n+1} X_{i}\leq t \right\} \\ & = F_{n}(t)-F_{n+1}(t) \end{align*}$

Corollary (泊松分布与伽马分布关系恒等式)

\sum_{k = n}^{\infty} \frac{(\lambda t)^{k}}{k!}e^{-\lambda t}=\int _{0}^{t} \frac{\lambda^{n}}{\Gamma(n)}x^{n-1}e^{-\lambda x} \, dx

证明
该等式即泊松过程中有： $P\{ N(t)\geq n\}=P\{ T_{n}\leq t \}$ 故显然成立。

Theorem (性质三)

M(t)=E(N(t))=\sum_{n = 1}^{\infty} P\{ N(t)\geq n \}=\sum_{n = 1}^{\infty} P\{ T_{n}\leq t \}=\sum_{n = 1}^{\infty} F_{n}(t)

证明
由分布函数期望公式知显然成立。

2. 更新方程

2.1 更新方程和更新定理

Definition (更新方程)

K(t)=H(t)+\int _{0}^{t}K(t-s) \, dF(s) =H(t)+K*F(t)

Theorem (更新函数性质)

M(t)=F(t)+\int _{0}^{t}M(t-s) \, dF(s) =F(t)+M*F(t)

证明
由条件期望公式 $\begin{align*} M(t) = E(N(t)) & = E(E(N(t)\mid T_{1})) \\ & = \int _{0}^{\infty}E(N(t)\mid T_{1}=x) \, dF(x) \\ & = \int _{0}^{t} E(N(t)\mid T_{1}=x) \, dF(x)+\int _{t}^{\infty} E(N(t)\mid T_{1}=x) \, dF(x) \\ & = \int _{0}^{t}(1+M(t-x)) \, dF(x) \\ & = F(t)+\int _{0}^{t}M(t-s) \, dF(s) \end{align*}$

Theorem (更新方程的解)

若更新方程中 $H(t)$ 为有界函数，则方程存在唯一的在有限区间内有界的解 $K(t)=H(t)+\int _{0}^{t}H(t-s) \, dM(s) = H(t)+H*M(t)$ 其中 $M(t)$ 是分布函数 $F(t)$ 的更新函数

Example (Wald等式)

设 $\{ X_{i} \}$ 独立同分布， $E(X_{i})<+\infty$ ， $i=1,2,\dots,$ ，则 $E(T_{N(t)+1})=E(X_{1}+X_{2}+\dots+X_{N(t)+1})=E(X_{1})(E(N(t)+1))$

证明

法一
注意到 $E(T_{N(t)+1}\mid X_{1}=x)=\left\{\begin{align*} & x,\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\,\,\,x>t \\ & x+E(T_{N(t-x)+1}),\quad x\leq t \end{align*}\right.$ 此时令 $K(t)=E(T_{N(t)+1})$ ，则 $\begin{align*} K(t) & =E(T_{N(t)+1}) \\ & = E(E(T_{N(t)+1})\mid X_{1}) \\ & = \int _{0}^{t}(x+K(t-x)) \, dF(x)+\int _{t}^{+\infty}x \, dF(x) \\ & = E(X_{1})+\int _{0}^{t}K(t-x) \, dF(x) \end{align*}$ 注意到这是一个更新方程，由定理知解为 $\begin{align*} K(t) & =E(X_{1})+\int _{0}^{t}E(X_{1}) \, dM(x) \\ & = E(X_{1})(1+M(t)) \\ & = E(X_{1})E(N(t)+1) \end{align*}$

法二
注意到 $\{ N(t)+1\geq i \}\iff \{ N(t)\geq i-1 \}\iff \left\{ \sum_{k = 1}^{i-1} X_{k}\leq t \right\}$ 因此 $\{ N(t)+1\geq i \}$ 与 $X_{i}$ 独立。此时 $\begin{align*} E(T_{N(t)+1}) & = E\left( \sum_{i = 1}^{N(t)+1} X_{i} \right) \\ & = E\left( \sum_{i = 1}^{\infty} I_{\{ N(t)+1\geq i \}}X_{i} \right) \\ & = \sum_{i = 1}^{\infty} E(I_{\{ N(t)+1\geq i \}})E(X_{i}) \\ & = E(X_{1})\sum_{i = 1}^{\infty} P\{ N(t)+1\geq i \} \\ & = E(X_{1})E(N(t)+1) \end{align*}$

2.2 关键更新定理

Theorem (关键更新定理)

记 $\mu=E(X_{n})$ ，设函数 $h(t)$ ，满足

$h(t)$ 非负不增
$\int _{0}^{\infty}h(t) \, dt<+\infty$
$H(t)$ 是更新方程 $H(t)=h(t)+\int _{0}^{t}H(t-x) \, dF(x)$ 的解，同时若 $F$ 为连续分布，则 $\lim_{ t \to \infty } H(t)=\left\{\begin{align*} \frac{1}{\mu}\int _{0}^{\infty}h(x) \, dx ,\quad \mu<\infty \\ 0, \quad \mu=\infty \end{align*}\right.$

Example (剩余寿命与年龄的极限分布)

设 $r(t)=T_{N(t)+1}-t$ 表示 $t$ 时刻的剩余寿命， $s(t)=t-T_{N(t)}$ 为 $t$ 时刻的年龄。求 $r(t)$ 和 $s(t)$ 的极限分布。

解
令 $R_{y}(t)=P\{ r(t)>y \}$ ，此时 $P\{ r(t)>y \mid X_{1}=x\}=\begin{cases} 1, & x>t+y \\ 0, & t<x\leq t+y \\ R_{t}(t-x), & 0<x<t \end{cases}$ 因此 $\begin{align*} R_{y}(t) & = \int _{0}^{\infty}P\{ r(t)>y\mid X_{1}=x \} \, dF(x) \\ & = \int _{t+y}^{\infty} \, dF(x)+\int _{0}^{t}R(t-x) \, dF(x) \\ & = 1-F(t+y)+\int _{0 }^{t}R_{y}(t-x) \, dF(x) \end{align*}$ 这是一个更新方程，由关键更新定理 $\lim_{ t \to \infty } P\{ r(t)>y \}=\lim_{ t \to \infty } R_{y}(t)= \frac{1}{\mu}\int _{y}^{\infty}(1-F(z)) \, dz$ 注意到 $\{ r(t)>x,s(t)>y \}\iff \{ r(t-y)>x+y \}$ 因此 $\lim_{ t \to \infty } P\{ s(t)>y \}=\lim_{ t \to \infty } P\{ r(t-y)>y \}= \frac{1}{\mu}\int _{y}^{+\infty}(1-F(z)) \, dz$

Theorem (剩余寿命分布)

设 $r(t)=T_{N(t)+1}-t$ ，则其分布函数满足 $P\{ r(t)>y \}=\overline{F}(t+y)+\int _{0}^{t} \overline{F}(t+y-x)\, dM(x)$ 其中 $\overline{F}(x)=1-F(x)$ 。

Corollary ( $T_{N(t)}$ 和 $T_{N(t)+1}$ 的分布)

\begin{align*} P\{ T_{N(t)}>s \}&=\overline{F}(s)+\int _{0}^{t}\overline{F}(s-x) \, dM(x) \\ P\{ T_{N(t)+1}\leq s \} &= \overline{F}(t) +\int _{0}^{s}\overline{F}(t-x) \, dM(x) \end{align*}

证明
注意到 $P\{ T_{N(t)}\leq s \}=P\{ s(t)> t-s \}=P\{ r(s)>t-s \}= \overline{F}(t)+ \int _{0}^{s}\overline{F}(t-x) \, dM(x)$ 同理 $P\{ T_{N(t)+1}>s \}=P\{ r(t)> s-t \}=\overline{F}(s)+ \int _{0}^{t}\overline{F}(s-x) \, dM(x)$