04Lp空间——Lp空间的性质

Lingfeng 2024-06-06

04Lp空间——Lp空间的性质

1. Lp收敛

Lp收敛与逐点收敛 设 $f_{n}$ , $f \in L^{p}(E)$ , 若 $f_{n}\stackrel{L^{p}}{\longrightarrow}f$ , 则 $\left\Vert f_{n} \right\Vert_{p}\to \left\Vert f \right\Vert_{p}$ .

证明
注意到 $\lvert \left\Vert f_{n} \right\Vert_{p} -\left\Vert f \right\Vert_{p} \rvert \leq \left\Vert f_{n}-f \right\Vert _{p}$ 故结论显然成立.

Lp收敛与依测度收敛 设 $f_{n}$ , $f \in L^{p}(E)$ , 若 $f_{n}\stackrel{L^{p}}{\longrightarrow}f$ , 则 $f_{n}\stackrel{m}{\longrightarrow}f$ .

证明
注意到对于任意 $\varepsilon>0$ , 有 $\begin{align*} m(E(\lvert f_{n}-f \rvert >\varepsilon)) & \leq \frac{1}{\varepsilon^{p}}\int _{E(\lvert f_{n}-f >\varepsilon\rvert )} \lvert f_{n}(x)-f(x) \rvert ^{p}\, dx \\ & \leq \frac{1}{\varepsilon^{p}} \left\Vert f_{n}-f \right\Vert _{p}^{p} \end{align*}$ 故证毕.

推论设 $f_{n}$ , $f \in L^{p}(E)$ , 若 $f_{n}\stackrel{L^{p}}{\longrightarrow}f$ , 则存在子列 $\{ f_{n_{k}} \}$ 使得 $f_{n_{k}}\to f$ , $a.e.E$ .

Lp收敛与弱收敛 设 $1\leq p<\infty$ , $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ , 对任意的 $g \in L^{q}(E)$ , 定义 $\Phi(f)=\int _{E}f(x)\overline{g(x)} \, dx$ 此时定义 $f_{n}\stackrel{w}{\longrightarrow}f$ 有 $\Phi(f_{n})\to \Phi(f)$ . 此时若 $f_{n}\stackrel{L^{p}}{\longrightarrow} f$ , 则有 $f_{n}\stackrel{w}{\longrightarrow}f$ .

证明
注意到当 $f_{n}\stackrel{L^{p}}{\longrightarrow}f$ 时, 有 $\begin{align*} \lvert \Phi(f_{n}-\Phi(f)) \rvert & = \left\lvert \int _{E}f_{n}(x)\overline{g(x)} \, dx-\int _{E}f(x)\overline{g(x)} \, dx \right\rvert \\ & \leq \left\lvert \int _{E}(f_{n}(x)-f(x))\overline{g(x)} \, dx \right\rvert \\ & \leq \left\Vert f_{n}-f \right\Vert _{p}\left\Vert g \right\Vert _{q}\to 0 \end{align*}$ 故证毕.

例
考虑 $f_{n}(x)=\sin nx$ . 注意到对任意 $g \in L^{1}$ , 有 $\int _{0}^{2\pi}g(x)\sin nx \, dx \to 0$ 由于 $L^{2}\subset L^{1}$ , 故 $f_{n}\stackrel{w}{\longrightarrow}0$ . 但 $f_{n} \cancel{ \stackrel{L^{2}}{\longrightarrow} }f$ .

2. Lp空间

Lp空间是Banach空间 设 $\{ f_{n} \}$ 是 $L^{p}$ 中的Cauchy序列, 则存在 $f \in L^{p}(E)$ 使得 $f_{n}\stackrel{L^{p}}{\longrightarrow}f$ .

证明
对于任意 $\delta>0$ , 存在 $N>0$ , 当 $n$ , $k>N$ , 有 $\left\Vert f_{k}-f_{n} \right\Vert <\delta$ 此时对于任意 $\varepsilon>0$ , 有 $\begin{align*} m(E(\lvert f_{n}-f_{k} \rvert & \geq \varepsilon))\leq \frac{1}{\varepsilon^{p}} \int _{E(\lvert f_{n}-f_{k} \rvert \geq \varepsilon)} \lvert f_{k}(x)-f_{n}(x) \rvert^{p} \, dx \\ & \leq \frac{1}{\varepsilon^{p}}\left\Vert f_{k}-f_{n} \right\Vert _{p}^{p} \\ & < \frac{1}{\varepsilon^{p}}\delta^{p} \end{align*}$ 故 $\lim_{ k,n \to \infty }m(E(\lvert f_{n}-f_{k} \rvert \geq \varepsilon))\to 0$ .