06布朗运动

Lingfeng 2024-11-30

06布朗运动

1. 基本概念

Definition (布朗运动)

随机过程 $\{ X(t) \}$ 满足

$X(0)=0$
$\{ X(t) \}$ 有独立的平稳增量
对每个 $t>0$ ， $X(t)\sim N(0,\sigma^{2}t)$
则称 $\{ X(t) \}$ 为布朗运动，也称Wiener过程，记为 $\{ B(t) \}$ 或 $\{ W(t) \}$ 。

Definition (布朗运动的等价定义)

$B(t)-B(s)\sim N(0,t-s)$
$B(t)-B(s)$ 独立于过程的过去状态
$B(t)$ 是 $t$ 的连续函数

Example (布朗运动联合分布)

设 $\{ B(t) \}$ 为标准布朗运动，求 $P\{ B(t)\leq 0,t=1,2 \}$ 。

注意到 $\begin{align*} P\{ B(1)\leq 0,B(2)\leq 0 \} & =\int _{-\infty}^{0}P\{ B(2)\leq 0 \mid B(1)=x\}\phi(x) \, dx \\ & =\int _{-\infty}^{0}P\{ B(2)-B(1)\leq -B(1) \mid B(1)=x\}\phi(x) \, dx \\ & = \int _{-\infty}^{0}\Phi(-x)\phi(x) \, dx \\ & = \int_{0}^{\infty} \Phi(x)\phi(x) \, dx \\ & = \int _{\frac{1}{2}}^{1}y \, dy \\ & = \frac{3}{8} \end{align*}$

Theorem (Brown运动矩母函数)

E(e^{sB(t)})=e^{ts^{2}/2}

2. Guass过程

Definition (Guass过程)

所有有限维分布为多元正态分布的随机过程称为Gauss过程。

Theorem (布朗运动与Gauss过程)

布朗运动是均值函数为0，协方差函数为 $\min\{ t,s \}$ 的Gauss过程。

证明
对于 $s<t$ ，考虑 $\begin{align*} Cov(B(s),B(t)) & =Cov(B(s),B(s)+B(t)-B(s)) \\ & = Cov(B(s),B(s)) +Cov(B(s),B(t)-B(s)) \\ & = s \end{align*}$

3. 布朗运动的鞅性质

Theorem (布朗运动的鞅性质)

$\{ B(t) \}$ 为鞅
$\{ B(t)^{2}-t \}$ 为鞅
对任意实数 $u$ ， $\exp \left\{ uB(t)-\frac{u^{2}}{2}t \right\}$ 为鞅。

证明
只证明二，三。考虑证明 $E(B(t+s)^{2}-B(t)^{2}-s\mid \mathcal{F} _{t})=E(B(t+s)^{2}\mid \mathcal{F} _{t})-B(t)^{2}-s=0$ 而注意到 $\begin{align*} E(B(t+s)^{2}\mid \mathcal{F_{t}} ) & =E((B(t)+B(t+s)-B(t))^{2}\mid \mathcal{F_{t}}) \\ & = B(t)^{2} + E((B(t+s)-B(t))^{2}) \\ & = B(t)^{2}+s \end{align*}$ 故证毕。

类似的，考虑证明 $\begin{align*} & E\left( \exp \left\{ uB(t+s)-\frac{u^{2}}{2}(t+s) \right\}-\exp \left\{ uB(t)-\frac{u^{2}}{2}t \right\}\Big| \mathcal{F_{t}}\right) \\ & = E\left( \exp \left\{ uB(t)-\frac{u^{2}}{2}t \right\}\left( \exp \left\{ uB(t+s)-uB(t)- \frac{u^{2}}{2}s \right\}-1 \right)\Big| \mathcal{F_{t}} \right)=0 \end{align*}$ 只需证明 $E\left( e^{u(B(t+s)-B(t))}\mid\mathcal{F} _{t} \right)=E\left( e^{u(B(t+s)-B(t))} \right)=e^{\frac{u^{2}}{2}s }$ 设 $Z_{s}=B(t+s)-B(t)\sim N(0,s)$ ，此时 $E\left( e^{u(B(t+s)-B(t))} \right)=E(e^{uZ_{s}})$ 恰为矩母函数，故证毕。

4. Brown运动的最大值变量及反正弦律

Theorem (首次击中时刻的概率分布)

设 $T_{x}$ 为布朗运动首次击中 $x$ 的时刻，即 $T_{x}=\inf \{ t\mid B(t)=x,t>0 \}$ 当 $B(0)=0$ ， $x>0$ 时有 $P\{ T_{x}\leq t \}=2\left( 1-\Phi\left( \frac{x}{\sqrt{ t }} \right) \right)=\frac{2}{\sqrt{ 2\pi }}\int _{\frac{x}{\sqrt{ t }}}^{+\infty}e^{-y^{2}/2} \, dx$

证明
由全概率公式 $\begin{align*} P\{ B(t)\geq x \} & =P\{ B(t)\geq x\mid T_{x}\leq t \}P\{ T_{x}\leq t \}+P\{ B(t)\geq x \mid T_{x}>t\}P\{ T_{x}>t \} \\ & = \frac{1}{2}P\{ T_{x}\leq t \} \end{align*}$ 从而 $\begin{align*} P\{ T_{x}\leq t \} & =2P\{ B(t)\geq x \} \\ & =2\left( 1-\Phi\left( \frac{x}{\sqrt{ t }} \right) \right) \end{align*}$ 其密度函数为 $\begin{align*} f_{T_{x}}(t) & =2\phi\left( \frac{x}{\sqrt{ t }} \right) \frac{x}{2}t^{-3/2} \\ & =xt^{-3/2 }\phi\left( \frac{x}{\sqrt{ t }} \right) \\ & =\frac{x}{\sqrt{ 2 \pi}}t^{-3/2}e^{-x^{2}/2t}, & t>0 \end{align*}$

Theorem (最大值最小值的分布)

设 $M(t)=\max_{0\leq s\leq t}B(s)$ ， $m(t)=\min_{0\leq s\leq t}$ ，则 $\begin{align*}P\{ M(t)\geq x \} & =P\{ T_{x}\leq t \},\quad x>0\\ P\{ m(t)\leq x \}&= P\{ T_{x}\leq t \},\quad x<0\end{align*}$

Theorem (击中零点的概率)

设 $\{ B^{x}(t) \}$ 为始于 $x$ 的布朗运动，则 $B^{x}(t)$ 在 $(0,t)$ 中至少有一个零点的概率为 $\frac{\lvert x \rvert }{\sqrt{ 2\pi }}\int _{0}^{t}u^{-3/2}e^{-x^{2}/2u} \, du$

证明
若 $x<0$ ，此时只需求 $\begin{align*} P\{ \max_{0\leq s\leq t}B^{x}(s)\geq 0 \} & = P\{ \max_{0\leq s\leq t}B(s)+x \geq 0 \} \\ & =P\{ M(t)\geq-x \} \\ & =P\{ T_{-x}\leq t \} \\ & =P\{ T_{x}\leq t \} \end{align*}$

Corollary (Brown运动同分布性质)

$M(t)$ ， $\lvert B(t) \rvert$ ， $M(t)-B(t)$ 同分布。

Theorem (布朗运动反正弦律)

$B^{y}(t)$ 在区间 $(a,b)$ 中至少有一个零点概率为 $\frac{2}{\pi}\arccos \sqrt{ \frac{a}{b} }$

5. Brown运动的几种变化

Definition (Brown桥)

B^{*}(t)=B(t)-tB(1)

Definition (有吸收值的Brown运动)

Z(t)=\begin{cases} B(t), & t<T_{x}\\x, & t\geq T_{x} \end{cases}

Definition (在原点反射的Brown运动)

Y(t)=\lvert B(t) \rvert

Definition (几何Brown运动)

X(t)=e^{B(t)}

6. 布朗运动的反射原理 (Reflection Principle)

Definition (反射原理)

对于布朗运动{B(t), t≥0}和任意固定水平x，如果τ是首次击中x的时刻，那么新过程：
$\tilde{B}(t)=\begin{cases} B(t), & t \leq \tau \\ 2x-B(t), & t > \tau \end{cases}$
仍然是一个布朗运动。

Theorem (主要结论)

$P(M_t \geq x) = 2P(B(t) \geq x)$ ，其中 $M_t = \max_{s \leq t}B(s)$
$P(T_x \leq t) = 2P(B(t) \geq x)$ ，其中 $T_x$ 是首次击中时间
对于 $u < x < v$ ：
$P(u < B(t) < v, T_x < t) = P(2x-v < B(t) < 2x-u)$

证明思路：

考虑所有经过x点的路径
对于每条这样的路径，在首次击中x后将路径反射
反射后的路径与原路径概率相等
这建立了经过x点的路径与反射路径之间的一一对应

Example (应用)

反射原理可以用来计算：

布朗运动的最大值分布
首次击中时间的分布
条件概率 $P(B(t) \in A | T_x < t)$

6.1 重要推论

首次击中时间分布：
$P(T_x \leq t) = 2[1-\Phi(\frac{x}{\sqrt{t}})]$
条件分布：
对于 $T_x < t$ 时的 $B(t)$ ，其分布是关于x对称的
联合分布：
$P(B(t) \in dy, T_x \leq t) = \frac{2x-y}{\sqrt{2\pi t^3}}e^{-\frac{(2x-y)^2}{2t}}dy$