02随机向量随机数抽样

Lingfeng 2025-03-23

02随机向量随机数抽样

设随机向量 $(\xi_{1},\xi_{2})$ 具有二维联合密度函数 $f(x_{1},x_{2})$ ，令 $\begin{cases} y_{1}=g_{1}(x_{1},x_{2})\\y_{2}=g_{2}(x_{1},x_{2})\end{cases}$ 且存在唯一的反变换 $\begin{cases}x_{1}=h_{1}(y_{1},y_{2})\\x_{2}=h_{2}(y_{1},y_{2}) \end{cases}$ 令 $\begin{cases}\eta_{1}=g_{1}(\xi_{1},\xi_{2})\\ \eta_{2}=g_{2}(\xi_{1},\xi_{2}) \end{cases}$ ，则随机向量 $(\eta_{1},\eta_{2})$ 的二维联合密度函数为 $p(y_{1},y_{2})=f(h_{1}(y_{1},y_{2}),h_{2}(y_{1},y_{1}))\lvert J \rvert$

1.2 条件分布法

Theorem (条件分布法)

随机向量 $(\xi_{1},\dots,\xi_{p})$ 的随机数 $(x_{1},\dots,x_{p})$ 可按下述方法产生

产生随机数 $x_{1}\sim f_{1}(x_{1})$
给定 $\xi_{1}=x_{1}$ ，产生随机数 $x_{2}\sim f_{2}(x_{2}\mid \xi_{1}=x_{1})$
依次进行，直至 $x_{p}\sim f_{p}(x_{p}\mid \xi_{1},\xi_{2},\dots,\xi_{p-1})$ 。得到密度函数 $f(x_{1},\dots,x_{p})$ 的随机向量 $(x_{1},\dots,x_{p})$ 。

1.3 舍选抽样法

Theorem (舍选抽样法)

设随机向量 $(\xi_{1},\dots,\xi_{p})$ 在平行多面体 $a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}$ 上取值，联合密度函数 $f(x_{1},\dots,x_{p})$ 的上界为 $f_{0}$ 。按照下述方法产生随机向量：

从 $U(0,1)$ 中独立产生随机数 $U_{0},\dots,U_{p}$
如果 $U_{0},\dots,U_{p}$ 满足 $U_{0}f_{0}\leq f((b_{1}-a_{1})U_{1}+a_{1},\dots,(b_{p}-a_{p})U_{p}+a_{p})$ 则令 $\xi_{1}=(b_{1}-a_{1})U_{1}+a_{1},\dots,\xi_{p}=(b_{p}-a_{p})U_{p}+a_{p}$ 。
此时产生的 $(\xi_{1},\dots,\xi_{p})$ 的联合密度函数 $f(x_{1},\dots,x_{p})$ 。

2. 离散随机向量抽样

条件分布法是比较常用的产生离散随机向量随机数的抽样方法。

02随机向量随机数抽样

02随机向量随机数抽样

1. 连续随机向量抽样

1.1 变换抽样法

1.2 条件分布法

1.3 舍选抽样法

2. 离散随机向量抽样