02-2泊松过程-泊松过程的推广

Lingfeng 2024-09-23

02-2泊松过程-泊松过程的推广

1. 非齐次泊松过程

1.1 定义

Definition (非齐次泊松过程)

计数过程 $\{ N(t),t\geq 0 \}$ 为非平稳或非齐次泊松过程，由强度函数 $\lambda(t), t\geq 0$ ，如果

$N(0)=0$
$\{ N(t),t\geq 0 \}$ 具有独立增量
$P\{ N(t+h)-N(t)=1 \}=\lambda(t)=o(h)$
$P\{ N(t+h)-N(t) \geq 2\}=o(h)$

其中令 $m(t)=\int _{0}^{t}\lambda(s) \, ds$ 称 $m(t)$ 为累计强度函数，此时非齐次泊松过程也有以下定义：

Definition (非齐次泊松过程等价定义)

计数过程 $\{ N(t),t\geq 0 \}$ 为非平稳或非齐次泊松过程，由强度函数 $\lambda(t), t\geq 0$ ，如果

$N(0)=0$
$\{ N(t),t\geq 0 \}$ 具有独立增量
对任意实数 $t\geq 0$ ， $s>0$ ， $N(t+s)-N(t)$ 为具有参数为 $m(t+s)-m(t)=\int _{t}^{t+s}\lambda(u) \, du$ 的 Possoin 分布。

1.2 与泊松过程的关系

Theorem (泊松过程到非齐次泊松过程)

假设有一强度为 $\lambda$ 的泊松过程，在时刻 $t$ 发生的事件以概率 $\frac{\lambda(t)}{\lambda}$ 被计数，则此时被计数的事件构成的过程就是具有强度函数为 $\lambda(t)$ 的非齐次泊松过程。

Theorem (非齐次泊松过程到齐次泊松过程)

设有一强度函数为 $\lambda(t)$ 的非齐次泊松过程，令 $N^{*}(t)=N(m^{-1}(t))$ ，则 $\{ N^{*}(t) \}$ 是一个强度为1的泊松过程。

2. 复合泊松过程

Definition (复合泊松过程)

称随机过程 $\{ X(t),t\geq 0 \}$ 为复合泊松过程，如果对于 $t\geq 0$ ，有 $X(t)=\sum_{i = 1}^{N(t)} Y_{i}$ 其中 $Y_{i}$ 独立同分布，且与 $\{ N(t),t>0 \}$ 也独立。

Theorem (复合泊松过程的性质)

若 $E(Y_{i}^{2})<+\infty$ ，则 $\begin{align*} E(X(t)) & = \lambda t E(Y_{1}) \\ Var(X(t))& = \lambda tE(Y_{1}^{2}) \end{align*}$

证明
注意到 $E(X(t)\mid N(t)=n)=E\left( \sum_{i = 1}^{n} Y_{i} \right)=nE(Y_{1})$ 因此由全期望公式 $E(X(t)) = E(E(X(t)\mid N(t))) =\lambda(t)E(Y_{1})$ 同理 $Var(X(t)\mid N(t)=n)=nVar(Y_{1})$ 因此由条件方差公式 $\begin{align*} Var(X(t)) & =E(Var(X(t)\mid N(t)))+Var(E(X(t)\mid N(t))) \\ & = \lambda(t)Var(Y_{1}) + \lambda(t) E^{2}(Y_{1}) \\ & = \lambda(t)E(Y_{1}^{2}) \end{align*}$

3. 条件泊松过程

Definition (条件泊松过程)

设随机变量 $\Lambda>0$ ，在 $\Lambda=\lambda$ 的条件下，计数过程 $\{ N(t),t\geq 0 \}$ 是参数为 $\lambda$ 的泊松过程，则称 $\{ N(t),t\geq 0 \}$ 条件泊松过程。

Theorem (条件泊松过程的性质)

若 $E(\Lambda^{2})<+\infty$ ，则 $\begin{align*} E(N(t))&=tE(\Lambda) \\ Var(N(t))&= t^{2}Var(\Lambda)+tE(\Lambda)\end{align*}$

证明
注意到 $\begin{align*} E(N(t)\mid\Lambda=\lambda) & =\lambda t \\ Var(N(t)\mid\Lambda=\lambda) & =\lambda t \end{align*}$ 因此 $\begin{align*} E(N(t)) &= E(E(N(t)\mid\Lambda))=tE(\Lambda) \\ Var(N(t)) & =E(Var(N(t)\mid\Lambda))+Var(E(N(t)\mid \Lambda)) \\ & = t^{2}Var(\Lambda)+tE(\Lambda) \end{align*}$