03-2更新过程-更新过程的推广

Lingfeng 2024-10-12

03-2更新过程-更新过程的推广

1. 更新回报过程

Definition (更新回报过程)

设 $\{ N(t),t>0 \}$ 是一个更新过程，允许 $R_{n}$ 依赖于 $X_{n}$ ，要求随机向量列 $(X_{n},R_{n})$ 独立同分布，则 $R(t)=\sum_{i = 1}^{N(t)} R_{i}$ 称为更新回报过程。

Theorem (更新回报定理)

若 $\{ R(t),t\geq 0 \}$ 是一个更新回报过程，其更新间隔 $\{ X_{n} \}$ 满足 $E(X_{n})<+\infty$ ，每次得到的回报 $\{ R_{n} \}$ 满足 $E(R_{n})<+\infty$ ，则 $\begin{align*} \lim_{ t \to \infty } \frac{R(t)}{t} & \stackrel{ a.s. }{=} \frac{E(R_{1})}{E(X_{1})} \\ \lim_{ t \to \infty } \frac{E(R(t))}{t} & = \frac{E(R_{1})}{E(X_{1})}\end{align*}$

Example (火车调度问题)

设乘客到达火车站形成一个更新过程，其更新间距分布 $F$ 有有限期望 $\mu$ 。现设车站有 $K$ 个乘客到达车站时发出一列火车。每个旅客在车站等候时单位时间要付出 $c$ 元偿金，开出一列火车成本为 $D$ 元。求车站在长期运行下单位时间的平均成本。

解
计算一周期的成本为期望为 $\begin{align*} E(R(t)) & =E(D+(X_{2}+2X_{3}+\dots(K-1)X_{K})c) \\ & = D+ \frac{K(K-1)}{2}\mu c \end{align*}$ 而一周期时间期望为 $E\left( \sum_{i = 1}^{K}X_{i} \right)=K\mu$ 因此由更新回报定理 $\lim_{ t \to \infty } \frac{R(t)}{t}= \frac{E(R(t))}{E\left( \sum_{i = 1}^{K}X_{i} \right)}=\frac{D+\frac{K(K-1)}{2}\mu c}{K\mu}=\frac{D}{K\mu}+\frac{K-1}{2}c$

Example (产品保修策略)

设新产品售价为 $c$ ，成本为 $c_{0}<c$ ，产品寿命为 $X$ ，分布函数为 $F_{X}(t)$ ， $E(X)=\mu<+\infty$ 。若在期限 $w$ 内损坏，则免费更换，但优惠时间不重新开始。若在 $(w,w+T]$ 期间损坏，则按时间折价更换产品，且优惠时间重新开始。若在 $w+T$ 之后损害，则需要原价购买且优惠重新开始。求长期执行此策略厂家期望利润是多少。

解
对于用户，需要购买的产品费用为 $c_{1}=\left\{\begin{align*} \frac{c(Y-w)}{T}, & \quad w<Y\leq w+T \\ c, & \quad Y>w+T \end{align*}\right.$ 对于公司，需要付出成本为 $c_{0}(N(w)+1)$ 因此长期平均利润为 $\frac{E(c_{1})-c_{0}(E(N(w)+1))}{E(Y)}$

先考虑 $E(Y)$ ，为 $w$ 时刻第一次更新，因此 $Y=T_{N(w)+1}$ 。根据Wald公式有 $E(Y)=E(T_{N(w)+1})=\mu(E(N(w))+1)$ 再考虑 $c_{1}$ ，注意到 $\begin{align*} E(c_{1}) & = \frac{c}{T} \int _{w}^{w+T}(t-w) \, dF_{Y}(t)+c\int _{w+T}^{+\infty} \, dF_{Y}(t) \\ & = c \overline{G}(w+T)+ \frac{c}{T}\int _{w}^{w+T}(t-w) \, dG(t) \\ & = c \overline{G}(w+T)+ \frac{c}{T}(t-w)G(t)\Big|_{w}^{w+T}-\frac{c}{T}\int _{w}^{w+T} \, G(t)d(t-w) \\ & = \frac{c}{T}\int _{0}^{T}\overline{G}(w+x) \, dx \end{align*}$

2. 交替更新过程

Definition (交替更新过程)

设系统最初的开的，开的时间为 $Z_{1}$ ，而后关闭 $Y_{1}$ 在打开，随后 $Z_{2}$ 后又关闭，交替进行，每当系统被打开称作一次更新。假设 $\{ Z_{n},Y_{n},n\geq 1 \}$ 独立同分布，但 $Z_{i}$ ， $Y_{i}$ 允许不独立。

Theorem (交替更新定理)

设 $H$ 是 $Z_{n}$ 的分布， $G$ 是 $Y_{n}$ 的分布， $F$ 是 $Z_{n}+Y_{n}$ 的分布。即 $P(t)$ 为 $t$ 时刻系统是开的概率，设 $E(Y_{n}+Z_{n})<+\infty$ ，则 $\lim_{ t \to \infty } P(t)= \frac{E(Z_{n})}{E(Z_{n})+E(Y_{n})}$

证明
设 $X_{1}=Z_{1}+Y_{1}$ 为第一次更新的时刻，此时 $P(t\mid X_{1}=x)=\left\{\begin{align*} P\{ Z_{1}\geq t\mid X_{1}=x \},\quad & x\geq t \\ P(t-x), \quad & x<t \end{align*}\right.$ 因此 $\begin{align*} P(t) & = \int _{0}^{+\infty}P(t\mid X_{1}=x) \, dF(x) \\ & = \int _{0}^{t}P(t-x) \, dF(x) + \int _{t}^{+\infty}P\{ Z_{1}\geq t\mid X_{1}=x \} \, dF(x) \\ & = P(Z_{1}>t,X_{1}>t)+\int _{0}^{t}P(t-x) \, dF(x) \\ & = P(Z_{1}>t)+ \int _{0}^{t}P(t-x) \, dF(x) \\ & = \overline{H}(t)+\int _{0}^{t}P(t-x) \, dF(x) \end{align*}$ 由关键更新定理 $\lim_{ t \to \infty } P(t)= \frac{1}{E(Z_{n})+E(Y_{n})}\int _{0}^{+\infty}\overline{H}(x) \, dx = \frac{E(Z_{n})}{E(Z_{n})+E(Y_{n})}$