03参数估计

Lingfeng 2025-03-25

03参数估计

1. 点估计

Theorem (点估计)

从总体 $X$ 中随机生成数据 $X_{11},X_{12},\dots,X_{1n}$ ，基于该数据得到估计 $\hat{\theta}^{(1)}=\hat{\theta}(X_{11},X_{12},\dots,X_{1n})$
重复上述步骤 $K$ 次，相应得到 $\hat{\theta}^{(1)},\hat{\theta}^{(2)},\dots,\hat{\theta}^{(K)}$
用样本 $\hat{\theta}^{(1)},\hat{\theta}^{(2)},\dots,\hat{\theta}^{(K)}$ 的均值和方差估计总体 $\hat{\theta}(X_{1},X_{2},\dots,X_{n})$ 的均值和方差

对总体参数 $\theta$ ，设 $X_{1},X_{2},\dots,X_{n}$ 是来自改总体的一个样本，对给定的 $\alpha(0<\alpha<1)$ ，确定两个统计量 $\hat{\theta}_{L}=\hat{\theta}_{L}(X_{1},X_{2},\dots,X_{n})$ 与 $\hat{\theta}_{U}=\hat{\theta}_{U}(X_{1},X_{2},\dots,X_{n})$ ，使得 $P_{\theta}( \hat{\theta}_{L}\leq\theta\leq \hat{\theta}_{U} )\geq 1-\alpha$ 称随机区间 $[\hat{\theta}_{L},\hat{\theta}_{U}]$ 是 $\theta$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间。