「实对称矩阵」的性质

Lingfeng2024-01-24

「实对称矩阵」的性质

2. 性质

实对称矩阵有一些丰富的性质, 下面进行枚举和证明.^[1]^[2]

为了使证明更便利, 我们先引入对称变换的定义

Definition (对称变换(Symmetry Transformation))

欧式空间 $V$ 中的线性变换 $\mathcal{A}$ , 如果满足 $\forall\boldsymbol{\alpha}$ , $\boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}^{n}$ , 有

(\mathcal{A}\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) = (\boldsymbol{\alpha}, \mathcal{A}\boldsymbol{\beta})

则称线性变换

\mathcal{A}

为对称变换.

显然对称变换 $\mathcal{A}$ 在标准正交基下对应的矩阵 $A$ 就是实对称矩阵. 因为设

\mathcal{A}(\boldsymbol{\varepsilon}_{1}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2}, \dots, \boldsymbol{\varepsilon}_{n}) = (\boldsymbol{\varepsilon}_{1}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2}, \dots, \boldsymbol{\varepsilon}_{n})A

其中

\boldsymbol{\varepsilon}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{\varepsilon}_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \dots, \boldsymbol{\varepsilon}_{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}

对于矩阵

A

中元素

a_{ji}

, 显然有

a_{ji} = (\mathcal{A}\boldsymbol{\varepsilon}_{i}, \boldsymbol{\varepsilon}_{j})

同理有

a_{ij} = (\mathcal{A}\boldsymbol{\varepsilon}_{j}, \boldsymbol{\varepsilon}_{i})

, 由对称变换性质有

(\mathcal{A}\boldsymbol{\varepsilon}_{i}, \boldsymbol{\varepsilon}_{j}) = (\boldsymbol{\varepsilon}_{i}, \mathcal{A}\boldsymbol{\varepsilon}_{j})

即

a_{ij} = a_{ji}

故

A

为实对称矩阵.

下面我们使用对称变换和内积来证明实对称矩阵的性质.

Theorem (性质 1)

实对称矩阵的复特征值皆为实数.

证明

设 $\lambda$ 是实对称矩阵 $A$ 的特征值, $\boldsymbol{\xi}$ 是属于特征值 $\lambda$ 的特征向量. 由题意有

\begin{align*} A^{T} &= A = \overline{A} \\ A\boldsymbol{\xi} &= \lambda \boldsymbol{\xi} \end{align*}

注意到

\lambda(\boldsymbol{\xi}, \overline{\boldsymbol{\xi}}) = (A\boldsymbol{\xi}, \overline{\boldsymbol{\xi}}) = (\boldsymbol{\xi}, A\overline{\boldsymbol{\xi}}) = (\boldsymbol{\xi}, \overline{A\boldsymbol{\xi}}) = (\boldsymbol{\xi}, \bar{\lambda}\bar{\boldsymbol{\xi}})= \overline{\lambda}(\boldsymbol{\xi}, \overline{\boldsymbol{\xi}})

又因为

\boldsymbol{\xi}

为非零向量, 显然有

(\boldsymbol{\xi}, \overline{\boldsymbol{\xi}}) > 0

因此

\lambda = \overline{\lambda}

, 即

\lambda

是一个实数.

Theorem (性质 2)

实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交.

证明
设 $\lambda$ , $\mu$ 为实对称矩阵 $A$ 的两个不同特征值, $\boldsymbol{\alpha}$ , $\boldsymbol{\beta}$ 分别是属于 $\lambda$ , $\mu$ 的特征向量, 有 $A\boldsymbol{\alpha} = \lambda \boldsymbol{\alpha}$ , $A\boldsymbol{\beta} = \mu \boldsymbol{\beta}$ . $A$ 对应线性变换为 $\mathcal{A}$ , 注意到

\lambda(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) = (\mathcal{A}\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) = (\boldsymbol{\alpha}, \mathcal{A}\boldsymbol{\beta}) = \mu (\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})

由于

\lambda \neq \mu

, 因此有

(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) = 0

即

\boldsymbol{\alpha}

\boldsymbol{\beta}

正交.

Theorem (性质 3)

实对称矩阵一定正交相似于对角矩阵, 且该对角矩阵的主对角线上元素为该实对称矩阵全部特征值.

证明^[3]^[4]

对实对称矩阵 $A$ 的阶数使用数学归纳法. 当 $n = 1$ 时, 定理结论显然成立.

假设对于所有 $n-1$ 阶实对称矩阵定理成立, 下面证明对于 $n$ 阶实对称矩阵定理也成立.

设 $\lambda_{1}$ 是 $A$ 的一个特征值, $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 是属于特征值 $\lambda_{1}$ 的特征向量, 显然单位向量 $\boldsymbol{\eta}_{1}=\frac{1}{\lvert \boldsymbol{\alpha}_{1} \rvert}\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 也是 $A$
的属于 $\lambda_{1}$ 的特征向量. 故不妨设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 也是单位向量.

记 $Q_{1}$ 是以 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 为第一列的任意正交矩阵. 把 $Q_{1}$ 分块为 $Q_{1} = (\boldsymbol{\alpha}_{1}, Q_{0})$ , 其中 $Q_{0}$ 为 $n\times(n-1)$ 阶矩阵. 此时有

Q_{1}^{-1}AQ_{1} = Q_{1}^{T}AQ_{1} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_{1}^{T} \\ Q_{0}^{T} \end{pmatrix}A(\boldsymbol{\alpha}_{1}, Q_{0}) = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_{1}^{T}A\boldsymbol{\alpha}_{1} & \boldsymbol{\alpha}_{1}^{T}AQ_{0} \\ Q_{0}^{T}A\boldsymbol{\alpha}_{1} & Q_{0}^{T}AQ_{0} \end{pmatrix}

注意到

\begin{align*} A\boldsymbol{\alpha}_{1} &= \lambda_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1} \\ \boldsymbol{\alpha}_{1}^{T}\boldsymbol{\alpha}_{1} &= 1 \\ A &= A^{T} \end{align*}

且

\boldsymbol{\alpha}_{1}

与

Q_{0}

各列向量都正交, 因此

Q_{1}^{-1}AQ_{1} = \begin{pmatrix} \lambda_{1} & O \\ O & Q_{0}^{T}AQ_{0} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_{1} & O \\ O & A_{1} \end{pmatrix}

其中

A_{1} = Q_{0}^{T}AQ_{0}

为

n-1

阶实对称矩阵. 由归纳法假设, 对

A_{1}

存在

n-1

阶正交矩阵

Q_{2}

使得

Q_{2}^{-1}A_{1}Q_{2} = Q_{2}^{T}A_{1}Q_{2} = \begin{pmatrix} \lambda_{2} \\ & \lambda_{3} \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_{n}\end{pmatrix}

因此令

Q = (\boldsymbol{\alpha}_{1}, Q_{0}Q_{2}) = Q_{1}\begin{pmatrix} 1 & O \\ O & Q_{2}\end{pmatrix}

, 此时

Q^{T}Q = \begin{pmatrix} 1 & O \\ O & Q_{2} \end{pmatrix}^{T}Q_{1}^{T}Q_{1}\begin{pmatrix} 1 & O \\ O & Q_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & O \\ O & Q_{2} \end{pmatrix}^{T}\begin{pmatrix} 1 & O \\ O & Q_{2} \end{pmatrix} = I

因此

Q

为

n

阶正交矩阵, 使得

Q^{-1}AQ = Q^{T}AQ = \begin{pmatrix} \lambda_{1} \\ & \lambda_{2} \\ & & \lambda_{3} \\ & & & \ddots \\ & & & & \lambda_{n}\end{pmatrix}

故证毕.

事实上, 利用对称变换可以更简洁的证明这个定理(本质没有区别). 先证明一个引理

Lemma (对称变换性质)

设 $\mathcal{A}$ 是对称变换, $V_{1}$ 是 $\mathcal{A}-$ 子空间, 则 $V_{1}^{\perp}$ 也是 $\mathcal{A}-$ 子空间.

证明

设 $\boldsymbol{\alpha} \in V_{1}^{\perp}$ , 要证 $\mathcal{A}\boldsymbol{\alpha} \in V_{1}^{\perp}$ , 即证 $\mathcal{A}\boldsymbol{\alpha} \perp V_{1}$ .任取 $\boldsymbol{\beta} \in V_{1}$ , 都有 $\mathcal{A}\boldsymbol{\beta} \in V_{1}$ . 由于 $\boldsymbol{\alpha} \perp V_{1}$ , 故 $(\boldsymbol{\alpha}, \mathcal{A}\boldsymbol{\beta}) = 0$ . 因此

(\mathcal{A}\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) = (\boldsymbol{\alpha}, \mathcal{A}\boldsymbol{\beta}) = 0

即

\mathcal{A}\boldsymbol{\alpha} \perp V_{1}

, 故证毕.

此时证明性质 3. 同样采用归纳法, $n=1$ 显然成立. 设 $n-1$ 时结论成立.

此时对于 $n$ 维欧式空间 $\mathbb{R}^{n}$ , 线性变换 $\mathcal{A}$ 有一特征向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ , 其特征值为 $\lambda_{1}$ , 我们同样假设其为单位向量.

作 $L(\boldsymbol{\alpha}_{1})$ 的正交补, 设为 $V_{1}$ .由引理, $V_{1}$ 为 $\mathcal{A}-$ 子空间, 其维数为 $n-1$ .

又 $\mathcal{A} \mid V_{1}$ 显然仍是对称变换. 由归纳法假设, $\mathcal{A} | V_{1}$ 有 $n-1$ 个特征向量 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \dots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ 作成 $V_{1}$ 的标准正交基. 从而 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \dots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 的标准正交基, 又是 $\mathcal{A}$ 的 $n$ 个特征向量, 故得证.

由这条性质还可以得到一个推论

Corollary (推论)

实对称矩阵特征值几何重数等于代数重数.

对角化后的结果直接证明了这个推论.

Theorem (性质 4)

如果一个实矩阵正交相似于一个对角矩阵, 则其一定是实对称矩阵.

证明

由题意, 设 $Q^{-1}AQ = \Lambda$ , 则 $A = Q\Lambda Q^{-1} = Q\Lambda Q^{T}$ , 因此

A^{T} = (Q\Lambda Q^{T})^{T} = Q\Lambda Q^{T} = A

因此

A

为实对称矩阵.

由性质 3和性质 4可以看出正交对角化是实对称矩阵的充要条件.

证明大部分参考至: 北京大学数学系前代数小组.高等代数(第五版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2019: 257-263 ↩︎
部分参考至: （实）对称矩阵的相似，对角化，正定，特征值等性质的部分汇总及证明 - 知乎 (zhihu.com)open in new window ↩︎
第一个证明来自: 实对称矩阵的几个性质 - 知乎 (zhihu.com)open in new window ↩︎
可参考这篇: 实对称阵可对角化的几种证明及其推广 - torsor - 博客园 (cnblogs.com)open in new window ↩︎

「实对称矩阵」的性质

「实对称矩阵」的性质

1. 定义

2. 性质

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