03-1矩阵

Lingfeng 2025-07-17

03-1矩阵

设 $A=\left(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{matrix}\right)$ ，矩阵 $A^{*}=\left(\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{matrix}\right)$ 称为 $A$ 的伴随矩阵。

Theorem (性质1)

$A A^{*}=\lvert A \rvert I$ 如果 $A$ 可逆 $A^{*}=\lvert A \rvert A^{-1}$

Theorem (性质2)

(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}=\frac{A}{\lvert A \rvert }

一方面 $(A^{*})^{-1}=(\lvert A \rvert A^{-1})^{-1}=\frac{1}{\lvert A \rvert }(A^{-1})^{-1}=\frac{A}{\lvert A \rvert }$ 另一方面 $(A^{-1})^{*}=\lvert A^{-1} \rvert (A^{-1})^{-1}= \frac{A}{\lvert A \rvert }$

Theorem (性质3)

(kA)^{*}=k^{n-1}A^{*}

注意到 $(kA)^{*}=\lvert kA \rvert (kA)^{-1}=k^{n}\lvert A \rvert \frac{1}{k}A^{-1}=k^{n-1}\lvert A \rvert A^{-1}=k^{n-1}A^{*}$

Theorem (性质4)

(A^{*})^{\top}=(A^{\top})^{*}

Theorem (性质5)

\lvert A^{*} \rvert=\lvert A \rvert ^{n-1}

由 $\lvert A^{*} \rvert =\lvert \lvert A \rvert A^{-1} \rvert = \lvert A \rvert^{n} \frac{1}{\lvert A \rvert }=\lvert A \rvert^{n-1}$

Theorem (性质6)

(A^{*})^{*}=\lvert A \rvert^{n-2}A

注意到 $(A^{*})^{*}=\lvert A^{*} \rvert (A^{*})^{-1}=\lvert A \rvert ^{n-1} \frac{A}{\lvert A \rvert }=\lvert A \rvert ^{n-2}A$

Theorem (性质7)

r(A^{*})=\begin{cases} n, & r(A)=n \\ 1, & r(A)=n-1 \\ 0, & r(A)<n-1 \end{cases}

$A$ 满秩情况显然。当 $r(A)=n-1$ ，由矩阵秩定义，存在 $n-1$ 阶子式 $\neq 0$ ，即存在 $A_{ij}\neq 0$ 从而 $r(A^{*})\geq 1$ 而注意到 $A A^{*}=\lvert A \rvert I=0$ 因此 $A^{*}$ 的列向量在 $A$ 的零空间里，从而 $r(A^{*})\leq r(N(A))=n-(n-1)=1$ 因此 $r(A^{*})=1$ 。而当 $r(A)<n-1$ ，此时所有 $A_{ij}=0$ ，因此 $A^{*}=O$ 。

2. 初等矩阵

2.1 矩阵的初等矩阵

Definition (初等矩阵)

设初等矩阵为 $P(i,j),\quad P(i(c)), \quad P(i, j(k))$ 分别表示第 $i$ 行和第 $j$ 行互换、第 $i$ 行乘上 $c$ ，把第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行。

Theorem (初等矩阵的逆)

\begin{align*} P(i,j)^{-1} & =P(i,j) \\ P(i(c)) & = P(i(c^{-1})) \\ P(i, j(k))^{-1} & = P(i,j(-k)) \end{align*}

Theorem (初等矩阵的乘积)

\begin{align*}P(i,j)P(i,j) & =I \\ P(i(k))P(i(l)) & =P(i(kl)) \\ P(i,j(k))P(i,j(l)) & = P(i,j(k+l))\end{align*}

Theorem (初等矩阵分解)

$n$ 阶矩阵 $A$ 为可逆的充分必要条件为它能分解为初等矩阵的乘积，即 $A=P_{1}P_{2}\dots P_{m}$

2.2 分块矩阵的初等矩阵

Definition (分块矩阵的初等矩阵)

分块矩阵的初等矩阵有 $\begin{pmatrix} O & I \\ I & O \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}P & O \\ O & I \end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix} I & O \\ P &I \end{pmatrix}$

Theorem (分块矩阵的初等矩阵的逆)

\begin{align*} \begin{pmatrix} O & I \\ I & O \end{pmatrix}^{-1} & =\begin{pmatrix} O & I \\ I & O \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}P & O \\ O & I \end{pmatrix}^{-1} & = \begin{pmatrix}P^{-1} & O \\ O & I \end{pmatrix} \\\begin{pmatrix} I & O \\ P & I \end{pmatrix}^{-1} & =\begin{pmatrix} I & O \\ -P & I \end{pmatrix} \end{align*}

Theorem (分块矩阵初等矩阵的乘积)

\begin{align*}\begin{pmatrix}O & I \\ I & O\end{pmatrix}\begin{pmatrix}O & I \\ I & O\end{pmatrix} & =I \\ \begin{pmatrix} A & O \\ O & I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} B & O \\ O & I \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} AB & O \\ O & I \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} I & O \\ A & I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I & O \\ B & I \end{pmatrix} & =\begin{pmatrix} I & O \\ A+B & I \end{pmatrix}\end{align*}

3. 矩阵的分块

3.1 准对角矩阵

Definition (准对角矩阵)

设 $\mathrm{diag}(A_{1},A_{2},\dots,A_{l})=\begin{pmatrix} A_{1} & & & O \\ & A_{2} & & \\ & & \ddots & \\ O & & & A_{l} \end{pmatrix}$ 为准对角矩阵，其中 $A_{i}$ 是 $n_{i}\times n_{i}$ 矩阵。

Theorem (性质1)

若 $A_{1},A_{2},\dots,A_{l}$ 都是可逆矩阵，则 $\mathrm{diag}^{-1}(A_{1},A_{2},\dots,A_{l})=\mathrm{diag}(A_{1}^{-1},A_{2}^{-1},\dots,A_{l}^{-1})$

Theorem (性质2)

设 $A=\mathrm{diag}(A_{1},A_{2},\dots,A_{l})$ ， $B=\mathrm{diag}(B_{1},B_{2},\dots,B_{l})$ ，则 $\begin{align*}A+B&=\mathrm{diag}(A_{1}+B_{1},A_{2}+B_{2},\dots,A_{l}+B_{l}) \\ AB&=\mathrm{diag}(A_{1}B_{1},A_{2}B_{2},\dots,A_{l}B_{l})\end{align*}$

Theorem (性质3)

设 $A=\mathrm{diag}(a_{1}I_{1},a_{2}I_{2},\dots,a_{r}I_{r})$ 其中 $I_{i}$ 是 $n_{i}\times n_{i}$ 的单位矩阵，且 $a_{i}\neq a_{j}$ ，当 $i\neq j$ 。则矩阵 $B$ 与 $A$ 可交换充要条件 $B$ 是准对角矩阵。

充分性显然，下面证明必要性。若 $AB=BA$ ，下面证明 $B$ 为准对角矩阵。

设 $B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1r} \\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ B_{r 1} & B_{r 2} & \dots & B_{r r} \end{pmatrix}$ 其中 $B_{ij}$ 为 $n_{i}\times n_{j}$ 矩阵。此时同样对 $AB$ 和 $BA$ 进行划分，有 $(AB)_{ij}=\sum_{k = 1}^{r} A_{ik}B_{kj}=A_{ii}B_{ij}=a_{i}B_{ij}$ 同理有 $(BA)_{ij}=\sum_{k = 1}^{r} B_{ik}A_{kj}=B_{ij}A_{jj}=a_{j}B_{ij}$ 由于可互换，因此 $a_{j}B_{ij}=a_{i}B_{ij}$ 而 $a_{i}\neq a_{j}$ ，当 $i\neq j$ 。因此 $B_{ij}=O,\quad i\neq j$ 从而 $B$ 是准对角矩阵。

3.2 分块矩阵

Theorem (分块矩阵准对角化)

设 $M=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$ 若 $A^{-1}$ 存在，则 $M$ 可以准对角化 $M=\begin{pmatrix} I & \\ CA^{-1} & I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & \\ & M\mid A \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I & A^{-1}B \\ & I \end{pmatrix}$ 其中 $M\mid A=D-CA^{-1}B$ 表示 $M$ 关于 $A$ 的舒尔补。

注意到 $\begin{pmatrix} I & O \\ -CA^{-1} & I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I & -A^{-1}B \\ O & I \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A & O \\ O & D-CA^{-1}B \end{pmatrix}$ 因此 $\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I & \\ CA^{-1} & I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & \\ & D-CA^{-1}B \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I & A^{-1}B \\ & I \end{pmatrix}$

Theorem (分块矩阵的秩)

$\begin{align*} r\begin{pmatrix}A & O \\ O & B \end{pmatrix} & =r(A)+r(B) \\ r\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \end{pmatrix} & \geq r(A)+r(B) \end{align*}$ 若 $A$ 列满秩或 $B$ 行满秩则 $r\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix}$

03-1矩阵

03-1矩阵

1. 矩阵的逆

1.1 逆矩阵

1.2 伴随矩阵

2. 初等矩阵

2.1 矩阵的初等矩阵

2.2 分块矩阵的初等矩阵

3. 矩阵的分块

3.1 准对角矩阵

3.2 分块矩阵