04常见分布

Lingfeng 2025-09-06

04常见分布

设 $p$ 为一次试验成功的概率，记 $X\sim \mathrm{Bernoulli}(p)$ 概率分布为 $P\{ X=k \}=p^{k}(1-p)^{1-k},\quad k \in \{ 0,1 \}$ 期望为 $E(X)=1\times p+0\times(1-p)=p$ 方差为 $Var(X)=E(X^{2})-E^{2}(X)=p-p^{2}=p(1-p)$ 特征函数为 $f(t)=pe^{it}+q$

Example (两端带有吸收壁的随机游动)

假定质点在时刻 $t=0$ 时，位于 $x=i$ ，而在 $x=0$ ， $x=n$ 处各有一个吸收壁，求质点在 $x=0$ 或在 $x=n$ 被吸收的概率。

设 $a_{i}$ 表示质点在初始位置为 $i$ ，最终被 $n$ 吸收的概率，显然 $a_{0}=0,\quad a_{n}=1$ 当 $1\leq i\leq n-1$ 时，有 $a_{i}=pa_{i+1}+qa_{i-1}$ 下面考虑求解该方程即可。

注意到 $a_{i+1}-a_{i}=\frac{q}{p}(a_{i}-a_{i-1})$ 因此 $a_{i+1}-a_{i}=\left( \frac{q}{p} \right)^{i}(a_{1}-a_{0})=\left( \frac{q}{p} \right)^{i}a_{1}$

此时若 $p=q=\frac{1}{2}$ ，则 $a_{i}=ia_{1}$ 从而 $a_{1}=\frac{1}{n}$ 因此 $a_{i}=\frac{i}{n}$ 否则设 $r=\frac{q}{p}$ ，此时 $\begin{align*} a_{i} & = \sum_{k = 1}^{i}(a_{i}-a_{i-1})+a_{0} \\ & = \frac{ r^{i}- 1 }{r-1}a_{1} \end{align*}$ 因此 $a_{1}= \frac{r-1}{r^{n}-1}$ 从而 $a_{i}=\frac{r^{i}-1}{r^{n}-1}$

1.2 二项分布

设 $n$ 次独立重复的伯努利饰演，成功的概率为 $p$ ，记 $X\sim B(n,p)$ 概率分布为 $P\{ X=k \}=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ 考虑转化为 $n$ 次伯努利试验的和，容易得到期望为 $E(X)=np$ 方差为 $Var(X)=np(1-p)$ 特征函数为 $f(t)=(pe^{it}+q)^{n}$ 具有再生性 $X\sim B(n,p),Y\sim B(m,p)\implies X+Y\sim B(n+m,p)$

1.3 多项分布

设 $n$ 次独立重复试验中，有 $k$ 中互斥的结果，概率分别为 $p_{1},p_{2},\dots,p_{k}$ ，且 $\sum_{i = 1}^{k}p_{i}=1$ ，则 $(X_{1},X_{2},\dots,X_{k})\sim \mathrm{Mult}(n,p_{1},p_{2},\dots,p_{k})$ 概率分布为 $P\{ X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\dots,X_{k}=x_{k} \}=\binom{n}{x_{1},x_{2},\dots,x_{k}}p_{1}^{x_{1}}p_{2}^{x_{2}}\dots p_{k}^{x_{k}}$ 单个类别满足二项分布，不同类别间的协方差为 $Cov(X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}$ 这是因为 $X_{i}+X_{j}\sim B(n,p_{i}+p_{j})$ 因此 $Var(X_{i}+X_{j})=n(p_{i}+p_{j})(1-p_{i}-p_{j})$ 而 $\begin{align*} Var(X_{i}+X_{j}) & =Var(X_{i})+Var(X_{j})+2Cov(X_{i},X_{j}) \\ & = np_{i}(1-p_{i})+np_{j}(1-p_{j})+2Cov(X_{i},X_{j}) \end{align*}$ 从而 $Cov(X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}$

1.4 几何分布

在成功概率为 $p$ 的伯努利试验中，设 $X$ 为首次成功的次数，则 $X\sim \mathrm{Geom}(p)$ 概率分布为 $P\{ X=k \}=q^{k-1}p$ 期望为 $\begin{align*} E(X) & =\sum_{k = 1}^{\infty} kq^{k-1}p \\ & = p \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{d}{dq}q^{k} \\ & = p\frac{d}{dq} \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{1-q} \\ & = \frac{p}{(1-q)^{2}} \\ & =\frac{1}{p} \end{align*}$ 而 $\begin{align*} E(X^{2}) & =\sum_{k = 1}^{\infty} k^{2}q^{k-1}p \\ & = p\left( q\sum_{k = 1}^{\infty} k(k-1)q^{k-2} + \sum_{k = 1}^{\infty} kq^{k-1}\right) \\ & = p\left( \frac{2q}{(1-q)^{3}}+ \frac{1}{(1-q)^{2}} \right) \\ & = \frac{p(1+q)}{(1-q)^{3}}=\frac{1+q}{p^{2}} \end{align*}$ 因此 $\begin{align*} Var(X) & =E(X^{2})-E^{2}(X) \\ & = \frac{1+q}{p^{2}}-\frac{1}{p^{2}} \\ & = \frac{q}{p^{2}} \end{align*}$ 特征函数为 $\begin{align*} f(t) & =\sum_{k = 1}^{\infty} e^{itk}q^{k-1}p \\ & =\frac{p}{q} \sum_{k = 1}^{\infty} (qe^{it})^{k} \\ & = \frac{pe^{it}}{1- qe^{it}} = p\left( e^{-it}-q \right)^{-1} \end{align*}$

1.5 泊松分布

在独立试验中， $p_{n}$ 表示事件发生的概率，与试验总数 $n$ 有关，若 $np_{n}\to\lambda$ ，则当 $n\to \infty$ 时，有 $X\sim \mathrm{Poisson}(\lambda)$ 概率分布为 $P\{ X=k \}=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}$ 这是因为 $\begin{align*} P\{ X=k \} & =\binom{n}{k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k} \\ & = \frac{n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!}\left( \frac{\lambda_{n}}{n} \right)^{k}\left( 1-\frac{\lambda_{n}}{k} \right)^{n-k} \\ & =\frac{\lambda_{n}^{k}}{k!}\left( 1-\frac{1}{n} \right)\left( 1-\frac{2}{n} \right)\dots\left( 1-\frac{k-1}{n} \right)\left( 1-\frac{\lambda_{n}}{k} \right)^{n-k} \\ & =\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} \end{align*}$ 期望为 $\begin{align*} E(X) & =\sum_{k = 1}^{\infty} k \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} \\ & = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \\ & = \lambda e^{-\lambda}e^{\lambda}=\lambda \end{align*}$ 而 $\begin{align*} E(X^{2}) & =\sum_{k = 1}^{\infty} k^{2 } \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} \\ & = e^{-\lambda}\left( \sum_{k = 1}^{\infty} k(k-1) \frac{\lambda^{k}}{k!} +\sum_{k = 1}^{\infty} k \frac{\lambda^{k}}{k!} \right) \\ & = e^{-\lambda}(\lambda^{2}e^{\lambda}+\lambda e^{\lambda}) \\ & =\lambda^{2}+\lambda \end{align*}$ 因此方差为 $Var(X)=E(X^{2})-E^{2}(X)=\lambda$ 特征函数为 $\begin{align*} f(t) & =\sum_{k = 0}^{\infty} e^{itk} \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} \\ & = e^{-\lambda} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(\lambda e^{it})^{k}}{k!} \\ & = e^{-\lambda} e^{\lambda e^{it}}=e^{\lambda(e^{-it}-1)} \end{align*}$ 具有再生性 $X\sim \mathrm{Poisson}(\lambda_{1}),Y\sim \mathrm{Poisson}(\lambda_{2})\implies X+Y\sim \mathrm{Poisson}(\lambda_{1}+\lambda_{2})$

2. 连续分布

2.1 均匀分布

若 $a$ ， $b$ 为有限数，均匀分布记为 $X\sim U(a,b)$ 概率密度函数为 $p(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a\leq x\leq b \\ 0, & \text{otherwise.} \end{cases}$ 分布函数为 $F(x)=\begin{cases} 0, & x<a \\ \frac{x-a}{b-a}, & a\leq x\leq b \\ 1, & x>b \end{cases}$ 期望为 $E(X)=\int _{a}^{b} \frac{x}{b-a} \, dx = \frac{b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}=\frac{a+b}{2}$ 而 $E(X^{2})=\int _{a}^{b} \frac{x^{2}}{b-a} \, dx= \frac{b^{3}-a^{3}}{3(b-a)}=\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}$ 因此方差为 $Var(X)=E(X^{2})-E^{2}(X)=\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}-\frac{(a+b)^{2}}{4}=\frac{(a-b)^{2}}{12}$ 特征函数为 $f(t)=\int_{a}^{b} \frac{e^{itx}}{b-a} \, dx= \frac{e^{ita}-e^{itb}}{it(b-a)}$

2.2 正态分布

正态分布记作 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ 概率密度函数为 $p(x)=\frac{1}{\sqrt{ 2\pi }\sigma}\exp \left\{ -\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}} \right\}$ 期望为 $\mu$ ，方差为 $\sigma^{2}$ 。当 $X\sim N(0,1)$ ，特征函数为 $\begin{align*} f(t) & =\int_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\frac{1}{\sqrt{ 2\pi }}\exp \left\{ -\frac{x^{2}}{2} \right\} \, dx \\ & = e^{-t^{2}/2}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }} \exp \left\{ - \frac{(x-it)^{2}}{2} \right\} \, dx \\ & =\exp \left\{ -\frac{t^{2}}{2} \right\} \end{align*}$ 由线性变换，得到一般正态分布特征函数 $f(t)=\exp \left\{ i \mu t-\frac{1}{2}\sigma^{2}t^{2} \right\}$

Theorem (正态分布再生性)

若 $X\sim N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$ ， $Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$ ，且 $X$ ， $Y$ 相互独立，则 $X+Y\sim N(\mu_{1}+\mu_{2},\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})$

Theorem (正态分布 $n$ 阶矩)

若 $X\sim N(0,1)$ ，则 $E(X^{k})=\begin{cases}(k-1)!!, & \text{if k is even;} \\ 0, & \text{if k is odd.}\end{cases}$

考虑 $E(X^{k}) =\int_{-\infty}^{\infty} x^{k} \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }}e^{-x^{2}/2}\, dx$ $k$ 为奇函数时显然为0。注意到 $\begin{align*} E(X^{k}) & =-\frac{1}{\sqrt{ 2\pi }}\int_{-\infty}^{\infty} x^{k-1} \, d e^{-x^{2}/2} \\ & = -\frac{1}{\sqrt{ 2\pi }} x^{k-1}e^{-x^{2}/2}\Big|_{-\infty}^{\infty}+\frac{1}{\sqrt{ 2\pi }}\int_{-\infty}^{\infty} (k-1)x^{k-2}e^{-x^{2}/2} \, dx \\ & = (k-1)E(X^{k-2}) \end{align*}$ 故 $E(X^{k})=(k-1)!!$

2.3 多元正态分布

设 $\boldsymbol{X}$ 服从多元正态分布，记作 $\boldsymbol{X}\sim N(\boldsymbol{\mu},\Sigma)$ 概率密度函数为 $p(x)=\frac{1}{(2\pi)^{d/2}\lvert \boldsymbol{\Sigma} \rvert ^{1/2}}\exp \left\{ -\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^{\top}\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}) \right\}$ 特征函数为 $f(\boldsymbol{x})=\exp \left\{ i\boldsymbol{t}^{\top}\boldsymbol{\mu}-\frac{1}{2}\boldsymbol{t}^{\top}\Sigma \boldsymbol{t} \right\}$

Theorem (多元正态分布线性变换)

若 $\boldsymbol{X}\sim N(\boldsymbol{\mu},\Sigma)$ ，设 $\boldsymbol{Y}=A\boldsymbol{X}+\boldsymbol{b}$ ，则 $\boldsymbol{Y}\sim N(A\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{b},A\Sigma A^{\top})$

Corollary (标准化)

任何多元正态向量可以通过线性变换为标准多元正态分布 $\boldsymbol{Z}=\Sigma^{-1/2}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})\sim N(\boldsymbol{0},I)$

Theorem (多元正态分布的条件分布)

设 $\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix} \boldsymbol{X}_{1} \\ \boldsymbol{X}_{2} \end{pmatrix}$ ， $\boldsymbol{\mu}=\begin{pmatrix} \boldsymbol{\mu} _{1} \\ \boldsymbol{\mu}_{2}\end{pmatrix}$ ， $\Sigma=\begin{pmatrix} \Sigma_{11}& \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{pmatrix}$ ，则 $(\boldsymbol{X}_{1} \mid \boldsymbol{X}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}) \sim N(\boldsymbol{\mu}_{1\mid 2},\Sigma_{1\mid 2})$ 其中 $\begin{align*}\boldsymbol{\mu}_{1\mid 2} & =\boldsymbol{\mu}_{1}+ \Sigma_{12}\Sigma^{-1}_{22}(\boldsymbol{x}_{2}-\boldsymbol{\mu}_{2}) \\ \Sigma_{1 \mid 2} & =\Sigma_{11}-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}\end{align*}$

Corollary (二元正态分布的条件分布)

设 $\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix} X_{1} \\ X_{2} \end{pmatrix}$ ， $\boldsymbol{\mu}=\begin{pmatrix} \mu_{1} \\ \mu_{2}\end{pmatrix}$ ， $\Sigma=\begin{pmatrix} \sigma_{1}^{2}& \rho\sigma_{1}\sigma_{2} \\\rho\sigma_{1}\sigma_{2} & \sigma_{2}^{2}\end{pmatrix}$ ，则 $(X_{1}\mid X_{2}=x_{2})\sim N\left( \mu_{1}+\rho\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}(x_{2}-\mu_{2}),\sigma_{1}^{2}(1-\rho^{2}) \right)$

Theorem (独立性)

对于多元正态分布，分量间相互独立的充要条件是它们两两不相关（即协方差为0）。

2.4 指数分布

若随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记作 $X\sim \exp(\lambda)$ 概率密度函数为 $p(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x }, & x\geq0 \\ 0, & x<0 \end{cases}$ 分布函数为 $F(x)= \begin{cases} 0, & x< 0 \\ 1-e^{-\lambda x}, & x\geq 0 \end{cases}$ 期望为 $\begin{align*} E(X) & =\int_{0}^{\infty} x\lambda e^{-\lambda x} \, dx \\ & = \frac{\Gamma(2)}{\lambda} \int_{0}^{\infty} \frac{\lambda^{2}}{\Gamma(2)} x^{2-1} e^{-\lambda x} \, dx \\ & =\frac{1}{\lambda} \end{align*}$ 而 $\begin{align*} E(X^{2}) & =\int_{0}^{\infty} x^{2}\lambda e^{-\lambda x} \, dx \\ & = \frac{\Gamma(3)}{\lambda^{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{\lambda^{3}}{\Gamma(3)} x^{3-1}e^{-\lambda x} \, dx \\ & = \frac{2}{\lambda^{2}} \end{align*}$ 因此方差为 $Var(X)=E(X^{2})-E^{2}(X)=\frac{1}{\lambda^{2}}$ 特征函数为 $\begin{align*} f(t) & =\int_{0}^{\infty} e^{itx}\lambda e^{-\lambda x} \, dx \\ & = \lambda \int_{0}^{\infty} e^{-(\lambda-it)x} \, dx \\ & = \frac{\lambda}{\lambda-it} \\ & =\left( 1- \frac{it}{\lambda} \right)^{-1} \end{align*}$

Theorem (指数分布无记忆性)

P\{ X>s+t\mid X>s \}=P\{ X>t \}

Theorem (指数分布与泊松过程)

设泊松过程速率为 $\lambda$ ， $N(t)$ 表示在时间 $[0,t]$ 内发送的事件次数， $N(t)\sim \mathrm{Poisson}(\lambda t)$ ，设 $T_{i}$ 表示第 $i$ 个事件发送的时间， $T_{0}=0$ ，则 $X_{i}=T_{i}-T_{i-1}\sim \exp(\lambda)$ 且 $X_{i}$ 相互独立。

首先 $P\{ X_{1} >t \}=P\{ N(t)=0 \}=e^{-\lambda t}$ 其次假设 $X_{k-1}\sim \exp(\lambda)$ ，此时 $\begin{align*} P\{ X_{k}>t\mid T_{k-1} =s \} & =P\{ N(s+t)-N(s)=0\mid T_{k-1}=s \} \\ & =P\{ N(s+t)-N(s)=0 \} \\ & = e^{-\lambda t} \end{align*}$ 考虑考虑数学归纳法，故证毕。

Theorem (指数分布的最小值分布)

设 $X\sim \exp(\lambda_{1})$ ， $Y\sim \exp(\lambda_{2})$ ，且 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $Z=\min(X,Y)\sim \exp(\lambda_{1}+\lambda_{2})$

注意到 $\begin{align*} P\{ Z>z \} & =P\{ X>z,Y>z \} \\ & =e^{-\lambda_{1}z}e^{-\lambda_{2}z} \\ & =e^{-(\lambda_{1}+\lambda_{2})z} \end{align*}$ 显然可推广至 $n$ 个场景。

2.5 伽马分布

伽马分布记作 $X\sim Ga(\alpha,\lambda)$ 概率密度函数为 $p(x)=\begin{cases} \frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}, & x>0 \\ 0, & x<0 \end{cases}$ 期望为 $\frac{\alpha}{\lambda}$ ，方差为 $\frac{\alpha}{\lambda^{2}}$ 。特征函数为 $\begin{align*} f(t) & =\int_{0}^{\infty} e^{itx} \frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} \, dx \\ & = \left( \frac{\lambda}{\lambda-it} \right)^{\alpha}\int_{0}^{\infty} \frac{(\lambda-it)^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1} e^{-(\lambda-it)x} \, dx \\ & = \left( 1-\frac{it}{\lambda} \right)^{-\alpha} \end{align*}$ 具有再生性，设 $X\sim Ga(\alpha_{1},\lambda)$ ， $Y\sim Ga(\alpha_{2},\lambda)$ ，且 $X$ ， $Y$ 相互独立，则 $X+Y\sim Ga(\alpha_{1}+\alpha_{2},\lambda)$

Theorem (线性变换)

若 $X\sim Ga(\alpha,\lambda)$ ，则 $kX\sim Ga\left( \alpha, \frac{\lambda}{k} \right)$

Theorem (与指数分布关系)

\exp(\lambda)=Ga(1,\lambda)

Theorem (伽马分布与泊松过程)

设泊松过程速率为 $\lambda$ ， $N(t)$ 表示在时间 $[0,t]$ 内发送的事件次数， $N(t)\sim \mathrm{Poisson}(\lambda t)$ ，设 $T_{i}$ 表示第 $i$ 个事件发送的时间， $T_{0}=0$ ，则 $T_{i}\sim Ga(i,\lambda)$

2.6 贝塔分布

贝塔分布记作 $X\sim \mathrm{Beta}(\alpha ,\beta)$ 概率密度函数为 $p(x)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}$ 注意到 $\begin{align*} E(X^{k}) & =\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int _{0}^{1} x^{\alpha+k-1}(1-x)^{\beta-1} \, dx \\ & = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+k)}{\Gamma(\alpha+\beta+k)\Gamma(\alpha)} \end{align*}$ 从而期望为 $E(X)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$ 方差为 $Var(X)=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^{2}(\alpha+\beta+1)}$

Theorem (与二项分布的关系)

设 $X\sim B(n,p)$ ， $p$ 的先验分布为 $\pi(p)\sim B(\alpha,\beta)$ 试验成功次数为 $X$ ，则 $\pi(p\mid X=x)=B(\alpha+x,\beta+n-x)$

注意到 $p(X=x\mid p)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}\propto p^{x}(1-p)^{n-x}$ 而 $\pi(p)\propto p^{\alpha-1}(1-p)^{\beta-1}$ 从而 $\pi(p\mid X=x)\propto p^{\alpha+x-1}(1-p)^{\beta+n-x-1}$ 因此 $\pi(p\mid X=x)\sim B(\alpha+x,\beta+n-x)$

Theorem (与伽马分布的关系)

若 $X\sim Ga(\alpha,\lambda)$ ， $Y\sim Ga(\beta,\lambda)$ ，则 $\frac{X}{X+Y}\sim B(\alpha,\beta)$

2.7 卡方分布

若 $\boldsymbol{X}\sim N(0,I)$ ， $i.i.d$ ，则 $\boldsymbol{X}^{\top}\boldsymbol{X}\sim \chi^{2}(n)$ 期望为 $n$ ，方差为 $2n$ 。

Theorem (更一般的卡方分布)

若 $\boldsymbol{X}\sim N(0,I)$ ， $A$ 为幂等矩阵，且 $r(A)=r$ ，则 $\boldsymbol{X}^{\top}A\boldsymbol{X}\sim \chi^{2}(r)$

Theorem (卡方分布与正态分布)

若 $\boldsymbol{X}\sim N(\boldsymbol{\mu},\Sigma)$ ，则 $(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})^{\top}\Sigma^{-1}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{\mu})\sim \chi^{2}(n)$

Theorem (卡方分布与伽马分布)

\chi^{2}(n)=Ga\left( \frac{n}{2}, \frac{1}{2} \right)

2.8 t 分布

Definition (t分布)

若 $X\sim N(0,1)$ ， $Y\sim \chi^{2}(n)$ ， $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $t=\frac{X}{\sqrt{ \frac{Y}{n} }}\sim t(n)$

2.9 F 分布

Definition (F分布)

若 $X\sim \chi^{2}(n)$ ， $Y\sim \chi^{2}(m)$ ， $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $F=\frac{X / n}{Y / m}\sim F(n,m)$

04常见分布

04常见分布

1. 离散分布

1.1 伯努利分布

1.2 二项分布

1.3 多项分布

1.4 几何分布

1.5 泊松分布

2. 连续分布

2.1 均匀分布

2.2 正态分布

2.3 多元正态分布

2.4 指数分布

2.5 伽马分布

2.6 贝塔分布

2.7 卡方分布

2.8 t 分布

2.9 F 分布