01事件与概率

Lingfeng 2025-09-01

01事件与概率

1. 基本概念

Definition (测度空间)

设 $X$ 是任意集合， $\mathcal{A}$ 为 $X$ 部分子集构成的 $\sigma$ 代数， $\mu:\mathcal{A}\to \mathbb{R}$ ，称为测度。此时三元组 $(X,\mathcal{A},\mu)$ 称为测度空间。

Definition (概率空间)

设 $\Omega$ 为样本空间， $\mathcal{F}$ 为 $\Omega$ 部分子集构成的 $\sigma$ 代数， $P:\mathcal{F}\to R$ ，称为概率。此时三元组 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ 称为概率空间。

Definition ( $\sigma$ 域)

设 $\Omega$ 为一个样本空间， $\mathcal{F}$ 为 $\Omega$ 中的子集构成的集合族。如果满足

$\Omega \in \mathcal{F}$
若 $A \in \mathcal{F}$ ，则 $\bar{A}\in\mathcal{F}$
若 $A_{n}\in\mathcal{F}$ ，则 $\bigcup_{n = 1}^{\infty}A_{n}\in\mathcal{F}$
则称 $\mathcal{F}$ 为 $\Omega$ 上的 $\sigma$ 代数。显然 $\mathcal{F}$ 中任意可列交、并、补运算均封闭。

Definition (概率测度)

设 $P:\mathcal{F}\to \mathbb{R}$ ，若

$P(\Omega)=1$
$\forall A\in\mathcal{F}$ ， $0\leq P(A)\leq 1$
对于 $\{ A_{n} \}$ ，当 $i\neq j$ ， $A_{i}\cap A_{j}\neq\varnothing$ ，有 $P\left( \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_{n} \right)=\sum_{n = 1}^{\infty}P(A_{n})$
则称 $P$ 为 $(\Omega,\mathcal{F})$ 上的概率。

2. 概率的性质

2.1 基本性质

$P(\bar{A})=1-P(A)$
若，则
- $P(A\cup B)\leq P(A)+P(B)$
- $P(AB)\geq P(A)+P(B)-1$
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
一般加法公式 $\begin{align*}P\left( \bigcup_{i = 1}^{n} A_{i} \right) &=\sum_{i = 1,\dots,n}P(A_{i})-\sum_{1\leq i<j\leq n}P(A_{i}A_{j}) \\ & \quad+\sum_{ 1\leq i<j<k\leq n}P(A_{i}A_{j}A_{k})-\dots+ (-1)^{n-1}P(A_{1}A_{2}\dots A_{n})\end{align*}$ 或 $P\left( \bigcup_{i = 1}^{n} A_{i} \right)=1-P\left( \bigcap_{i = 1}^{n} \bar{A}_{i} \right)$

Example (最大车牌号)

某城有 $N$ 辆卡车，车牌号从 $1$ 到 $N$ ，有一个外地人到该城去，抄下 $n$ 辆车牌号（可能重复），求抄下最大号码为 $k$ 的概率。

法一

设事件 $A$ 为抄下最大号码为 $k$ ，事件 $A_{i}$ 为含最大号码为 $k$ 且有 $i$ 个，则 $\begin{align*} P(A) &= \sum_{i = 1}^{n} P(A_{i}) \\ & =\frac{1}{N^{n}} \sum_{i = 1}^{n} \binom{n}{i}(k-1)^{n-i} \\ & = \frac{k^{n}-(k-1)^{n}}{N^{n}} \end{align*}$

法二

设事件 $A_{k}$ 为抄下最大号码为 $k$ ， $B_{k}$ 为抄下号码不超过 $k$ ，则有 $A_{k}=B_{k}-B_{k-1}$ 因此 $P(A_{k})=P(B_{k})-P(B_{k-1})= \frac{k^{n}-(k-1)^{n}}{N^{n}}$

Example (匹配问题)

有 $n$ 封信，随机装到 $n$ 个信封，求至少有一封信放对的概率。

法一

设事件 $A_{i}$ 为第 $i$ 封信放对，则 $P\left( \bigcup_{i = 1}^{n} A_{i} \right)=1-P\left( \bigcap_{i = 1}^{n} \bar{A}_{i} \right)=1-P(X_{n})$ 其中 $X_{n}=\bigcap_{i = 1}^{n} \bar{A}_{i}$ 。设 $B_{ij}$ 为第 $i$ 封信放到了第 $j$ 个信封上，则 $\begin{align*} P\left( X_{n} \right) & =\sum_{i = 1}^{n-1} P(B_{i n}) P\left( X_{n} \mid B_{in} \right)\\ & = \frac{n-1}{n}P\left( X_{n} \mid B_{1n} \right) \end{align*}$ 注意到 $\begin{align*} P\left( X_{n}\mid B_{1n} \right) & = P(\bar{B}_{n1} X_{n}\mid B_{1n})+P(B_{n1}\mid B_{1n}) P(X_{n}\mid B_{n1}B_{1n}) \\ & = P(X_{n-1}) + \frac{1}{n-1}P(X_{n-2}) \end{align*}$ 因此 $P(X_{n})=\frac{n-1}{n}P(X_{n-1})+ \frac{1}{n} P(X_{n-2})$

下面求通项，考虑 $P(X_{n})-P(X_{n-1})=-\frac{1}{n}(P(X_{n-1})-P(X_{n-2}))$ 而 $P(X_{1})=0$ ， $P( X_{2})=\frac{1}{2}$ ，因此 $\begin{align*} P(X_{n})-P(X_{n-1}) & =\left( -\frac{1}{n} \right)\left( -\frac{1}{n-1} \right)\dots\left( -\frac{1}{3} \right) \frac{1}{2} \\ & = \frac{(-1)^{n}}{n!} \end{align*}$ 因此 $P(X_{n})=\sum_{k = 0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k!}$ 从而 $P\left( \bigcup_{i = 1}^{n} A_{i} \right)=1-\sum_{k = 0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k!}$

法二

使用一般加法公式 $\begin{align*} P\left( \bigcup_{i = 1}^{n} A_{i} \right) &=\sum_{i = 1,\dots,n}P(A_{i})-\sum_{1\leq i<j\leq n}P(A_{i}A_{j}) \\ & \quad+\sum_{ 1\leq i<j<k\leq n}P(A_{i}A_{j}A_{k})-\dots+ (-1)^{n-1}P(A_{1}A_{2}\dots A_{n}) \\ & = \binom{n}{1} \frac{1}{n}-\binom{n}{2} \frac{1}{n(n-1)} + \dots+ (-1)^{n-1} \frac{1}{n!} \\ & = 1 - \frac{1}{2!} + \dots+ (-1)^{n-1} \frac{1}{n!} \end{align*}$

2.2 条件概率与贝叶斯公式

Theorem (乘法公式)

P(AB)=P(B)P(A\mid B)

Corollary (推广乘法公式)

P(A_{1}A_{2}\dots A_{n})=P(A_{1})P(A_{2}\mid A_{1})P(A_{3}\mid A_{1}A_{2})\dots P(A_{n}\mid A_{1}A_{2}\dots A_{n-1})

Theorem (全概率公式)

$P(A)=P(B)P(A\mid B)+P(\bar{B})P(A\mid \bar{B})$ 连续形式 $P(A)=\int_{-\infty}^{\infty} P(A\mid Y=y)f(y) \, dy$

Theorem (贝叶斯公式)

P(A_{i}\mid B)=\frac{P(A_{i})P(B\mid A_{i})}{\sum_{j = 1}^{\infty} P(A_{j})P(B\mid A_{j})}